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Raumdimensionen im 3D-Raum/Geometrie/Frage
Universität / Fachhochschule
Tags: breit, diagonal, Durchmesser, Höhe, Länge
 
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Hallo zusammen, ich bin mittlerweile auch schon ein „älteres Semester“ und meine Schulzeiten liegen leider schon weit zurück. Deshalb fehlt mir das Verständnis für einige elementare Zusammenhänge. Für Menschen, die in der Materie drinstecken, mögen meine Wissenslücken unverständlich und kaum wert sein, sich damit zu beschäftigen, und dennoch hoffe auf eure Hilfe. Konkret geht es um einige grundsätzliche Verständnisfragen bezüglich der geometrischen Darstellung des 3-D-Raumes. In der klassischen Physik besteht Raum aus drei Dimensionen: Länge, Breite, Höhe. Wenn die Größe oder Ausdehnung von geometrischen Körpern quantifiziert wird, werden dementsprechend meist drei Angaben gemacht. Bei einem Quader oder Karton wird also . angegeben: Länge: cm, Breite: 6 cm, Höhe: 3 cm. Daneben gibt es aber auch geometrische Körper, die ein kreisrundes „Element“ enthalten, . ein Kreiszylinder bzw. eine gerade Rund-Stange. Hier werden nur Angaben gemacht bezüglich Länge und Durchmesser, . Länge: cm, Durchmesser: cm. Warum reichen hier zwei Dimensions-Angaben zur 3-D-Beschreibung, und wo genau „verstecken“ sich Breite und Höhe? Ich vermute, dass der Durchmesser verklausuliert sowohl Breite als auch Höhe wiedergibt, also in dem Beispiel mit der Rundstange: Länge: cm Breite: 5 cm (halber Durchmesser) Höhe: 5 cm (halber Durchmesser) Man gibt nur aus Gründen der Vereinfachung lediglich den Durchmesser an und spart sich so die Benennung aller drei Dimensionen. Bin mir dessen aber nicht sicher. Wenn dem so ist: Würden denn bei einem Quader nicht auch zwei Angaben genügen, nämlich Länge und Diagonale (statt Höhe und Breite)? Aus der Diagonalen ließen sich doch nach dem Satz des Pythagoras Höhe und Breite ermitteln. Ok, die Rechenoperation wäre komplizierter als bei der Rundstange, aber theoretisch müsste das doch möglich sein. Wenn man sagt: Die Dimensionen der Länge, Breite und Höhe stehen jeweils im Verhältnis bedeutet dies dann, dass alle drei Geraden, mit der man die Dimensionen darstellt, gleich lang sind? Man erhielt dann salopp gesagt . einen Würfel. Wie wäre es denn dann bei einem geraden Kreiszylinder, wenn gesagt wird: Durchmesser und Länge stehen im Verhältnis ? Bedeutet dies, dass der Durchmesser des Kreiszylinders seiner Länge entspricht, oder dass der Radius seiner Länge entspricht? Und wie wäre es, wenn bei einem Quader angegeben wird: Länge und Diagonale stehen im Verhältnis ? Wie muss man dieses Ins-Verhältnis-Setzen genau aufdröseln? Vielen Dank im Voraus für die Antworten. Hermann Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Naja, bei einer Kugel reicht ja sogar die Angabe eines einziges Maßes (Radius oder Durchmesser) und das, obwohl sich ja wohl auch eine Kugel in allen drei euklidischen Dimensionen ausdehnt. Dass eine Angabe reicht liegt eben in der Definition, was man unter einer Kugel zu verstehen hat. Eine Dimension tiefer im Für ein Rechteck wirst du zwei Maße angeben müssen. Aber wenn du dazu sagst, dass es sich um ein spezielles Rechteck, nämlich ein Quadrat handelt, dann reicht ja ob dieser Zusatzinformation ein einziges Maß. Ähnlich auch bei deinem Beispiel des geraden Kreiszylinders. Das dir offenbar fehlende Maß steckt im Wörtchen "Kreis" bzw. in der Definition, was man unter einem Kreis zu verstehen hat. Ein allgemeiner Quader ist aber durch Angabe einer Seitenlänge plus der Länge seiner Raumdiagonalen nicht eindeutig festgelegt. Da gibt es unendlich viele Möglichkeiten für die restlichen beiden Seitenlängen. Und ja, wenn bei einem Quader gilt, dann handelt es sich um einen Würfel, von dem du aber immer nicht nicht weißt, wie groß er ist ;-) Und wenn die Größen und von irgend einem Objekt im Verhältnis stehen, dann gilt natürlich . |
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Hallo Roman, danke für die kompetente Antwort. Dass bei eine Kugels nur die Angabe eines Maßes ausreicht habe ich nicht bedacht. Beim Quader und der Diagonalen habe ich mich unpräzise ausgedrückt. Ich meinte folgendes: Es wird bei einem Quader die Länge angegeben und zusätzlich – statt Breite und Höhe – nur die Flächendiagonale von Breite und Höhe. Also . Länge: cm, Diagonale (bezogen auf Breite, Höhe): cm. Ist es dann möglich über den Satz des Pythagoras Breite und Höhe zu ermitteln? Wenn man in einem Fall der Flächendiagonale sagt: Länge und Diagonale stehen im Verhältnis was bedeutet das dann genau bezogen auf die drei Dimensionen? Nochmals danke. LG Hermann |
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Ist es dann möglich über den Satz des Pythagoras Breite und Höhe zu ermitteln? Nein. Es ist nicht möglich aus einem einzigen Maß, deren zwei eindeutig zu ermitteln. Wenn du von einem rechtwinkeligen Dreieck nur die Hypotenuse angibst, sind die Katheten nicht eindeutig bestimmt - es gibt unendlich viele Möglichkeiten. Wenn man in einem Fall der Flächendiagonale sagt: Länge und Diagonale stehen im Verhältnis was bedeutet das dann genau bezogen auf die drei Dimensionen? Nun, ich weiß nicht, was genau du mit "Länge" jetzt meinst. Wenn du von einem (zweidimensionalen) Rechtecks sprechen möchtest und eine Seitenlänge "Länge" und die andere vielleicht "Breite" nennen möchtest, dann würde das bedeuten, dass diese "Länge" gleich der Diagonalen ist. Das hätte zur Konsequenz, dass die zweite Seitelänge des Rechtecks Null ist. Das Rechteck degeneriert also zu einer Strecke. |
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Hallo Roman, vielen Dank für deine Mühen und die Geduld mit mir. Ich habe leider nach wie vor noch Probleme damit die drei Dimensionen bzw. Fläche, Raum und Gerade ins „richtige“ Verhältnis zu setzen. Lass mich einen letzten Versuch starten; wenn ich dann deinen Erklärungen und Ausführungen nicht folgen kann, dann ist das halt so und dann muss ich mich damit abfinden. Abstrakt: Gegeben ist ein gerader Kreiskegel (Drehkegel), wobei gilt: Durchmesser Grundfläche (d) Höhe . Ein solcher Kreiskegel hat als Konstante einen Öffnungswinkel von 53,13°. Das „Besondere“ an einem solchen Kegel ist salopp ausgedrückt: Egal, wo man einen solchen Kegel durchschneidet, der Durchmesser wird immer der Höhe entsprechen. Beispiel: Wir haben einen Drehkegel mit cm Länge und cm Durchmesser. Wenn man diesen Kegel genau in der Mitte bei (h) cm durchschneidet und den Kegelstumpf „wegwirft“, dann hat der gekürzte Kegel ebenfalls einen gleich großen Durchmesser (scil. cm). Diese „Besonderheit“ gilt für sämtliche Ebenen (setze ich . bei (h) cm das Messer an, hat die Grundfläche des Restkegels ebenfalls einen Durchmesser von cm etc. pp.) (Rein aus Interesse: Drehkegel deren Mantellinie dem Durchmesser entspricht, nennt man gleichseitige Kegel; haben Drehkegel, deren Höhe dem Durchmesser entspricht auch einen speziellen Namen in der Mathematik?). Konkret: Du hast eine (idealisierte) Taschenlampe die einen (idealisierten) Lichtkegel mit einem Öffnungswinkel 53,13° produziert. Mit dieser Lampe leuchtest du in die Tiefe des Raumes. In 2 Meter Abstand steht eine Wand, die im rechten Winkel angestrahlt wird. Der Durchmesser dieses Lichtkreises wird ebenfalls 2 Meter betragen. Wird bei einer Entfernung von 5 Metern eine Wand angestrahlt, beträgt der Durchmesser 5 Meter, und so weiter und so fort. Nunmehr möchte ich diese Besonderheit oder diesen Spezialfall in Worte fassen, nach dem Motto: Immer dann, wenn der Lichtkegel einer Taschenlampe einen Öffnungswinkel 53,13° hat, gilt . . . Klar, man könnte jetzt sagen: Immer dann, wenn der Lichtkegel einer Taschenlampe einen Öffnungswinkel 53,13° aufweist, stehen Durchmesser des Lichtkreises und Abstand zur Lichtquelle im Verhältnis bzw. beides ist gleich groß; dies gilt für alle Gegenstandsweiten. Eine solche Aussage ist dimensionstechnisch aber nicht so aussagekräftig und prägnant. Immerhin: Du stehst mit der Lampe im Raum Dimensionen). Dann haben wir mit dem Lichtkreis eine Fläche Dimensionen). Und wir haben einen Abstand Dimension) und einen Durchmesser Dimension). Und ich bin nicht in der Lage diese Dimensionen korrekt ins Verhältnis zu setzen um . Besonderheit anschaulich zu beschreiben. Folgende Aussagen schwirren oder schwirrten mir im Kopf rum: Immer dann, wenn der Lichtkegel einer Taschenlampe einen Öffnungswinkel 53,13° aufweist, -stehen Raum und angestrahlte Fläche im Verhältnis -stehen Volumen und Fläche im Verhältnis -steht die Dimension der Tiefe mit der angestrahlten Fläche im Verhältnis -steht die Dimension der Tiefe mit den Dimensionen der Höhe und Breite im Verhältnis -stehen die Dimensionen der Tiefe , Breite und Höhe im Verhältnis zueinander Wie würdest du die Dinge anschaulich ins Verhältnis setzen? Oder anders gefragt: Wie würdest du den Satz „Immer dann, wenn der Lichtkegel einer Taschenlampe einen Öffnungswinkel 53,13° aufweist, stehen Durchmesser des Lichtkreises und Abstand zur Lichtquelle im Verhältnis bzw. beides ist gleich groß; dies gilt für alle Gegenstandsweiten.“ in Bezug auf die Dimensionen umformulieren? Wie gesagt: Wenn ich es trotz weiterer Erklärung nicht verstehen sollte, nerve ich nicht weiter. Nochmals danke. LG Hermann |
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Irgendwie vermag ich nicht zu erkennen, worin genau deine Frage besteht. Ich kann mit Formulierungen wie "Dimensionen ins richtige Verhältnis setzen" nicht wirklich viel anfangen. Ich picke mir also der Reihe nach ein paar deiner Ausführungen heraus und schreib dazu, was mir dazu einfällt. Generell scheint es dir ja um zueinander ähnliche gerade Kreiskegel zu gehen, bei denen die Höhe gleich dem Duchrmesser des Basiskreises ist. Und diese Formulierung würde ja auch schon reichen, um einen solchen Kegel bis auf seine konkrete absolute Größe zu charakterisieren. Und ja, solche Kegel haben auch immer einen Öffnungswinkel von . Einen speziellen Namen für derartige Kegel kenne ich nicht. Es gibt ja (im Gegensatz zum gleichseitigen Dreieck) meines Wissens auch keine spezielle Bezeichnung für ein gleichschenkeliges Dreieck, bei dem die Länge der Basis gleich der zugehörigen Höhe ist. Wenn du in deinen Erklärungsversuchen von Schnitten sprichst, dann meinst du Schnitte mit Ebenen, die auch die Kegelachse normal stehen. In deinen Ausführungen bei denen den Lichtkegel einer Taschenlampe bemühst, muss man natürlich auch immer voraussetzen, dass du auf eine Ebene projizierst, welche zur Kegelachse normal steht und den so entstehenden Lichtkreis betrachtest. Immer dann, wenn der Lichtkegel einer Taschenlampe einen Öffnungswinkel 53,13° aufweist, stehen Durchmesser des Lichtkreises und Abstand zur Lichtquelle im Verhältnis Ja, es spricht mMn nichts gegen diese Formulierung >Eine solche Aussage ist dimensionstechnisch aber nicht so aussagekräftig und prägnant. Tja, und da steig ich leider wieder aus, weil mir nicht klar ist, was du damit (vor allem mit "dimensionstechnisch") meinst! Es geht doch nie um Volumina oder Flächen, sondern immer nur um zwei Längen, die gleich sind. Eben der Durchmesser des Kreises und der Abstand des Projektionszentrums (Kegelspitze) von der Kreisebene. Folgende Aussagen schwirren oder schwirrten mir im Kopf rum: Immer dann, wenn der Lichtkegel einer Taschenlampe einen Öffnungswinkel 53,13° aufweist, -stehen Raum und angestrahlte Fläche im Verhältnis Was genau soll denn dieser "Raum" sein? Mit Fläche meinst du die Kreisfläche des Basiskreises? Die ist . Welche "Raum" soll denn deiner Meinung nach die gloiche Maßzahl haben? -stehen Volumen und Fläche im Verhältnis Wieder - welches Volumen, welche Fläche? Wenn du vom Kegelvolumen und von der Kreisfläche sprichst, so ist diese Aussage falsch, denn deren Maßzahlen stehen im Verhältnis . Dieses Verhältnis ist also nicht konstant, sondern von der absoluten Größe des Kegels abhängig. Kann man sich leicht klar machen, dass dieses Verhältnis nicht konstant sein kann, wenn man bedenkt, dass zB eine Verdopplung des Durchmessers die Kreisfläche vervierfacht, das Kegelvolumen aber verachtfacht. -steht die Dimension der Tiefe mit der angestrahlten Fläche im Verhältnis Wie meinen? Die "Tiefe" (mit der du wohl den Abstand zur angestrahlten Wand, also die Kegelhöhe meinst) steht nur mit dem Durchmesser der Kreisfläche im Verhältnis . Das Verhältnis von "Tiefe" zu Kreisfläche ist . Also natürlich wieder nicht von der absoluten Größe unabhängig, weil du ja schon wieder unterschiedliche Dimensionen (Länge, Fläche) vergleichst. -stehen die Dimensionen der Tiefe , Breite und Höhe im Verhältnis zueinander Könnte passen, wenn du den Begriff "Dimension" weg lässt und wenn du genauer ausführst, was du mit Höhe , Breite und Tiefe im konkreten Fall meinst. Vielleicht möchtest du damit auch nur ausdrücken, dass man den Kegel in einer würfelförmigen Bounding-Box unterbringen kann? Wie würdest du die Dinge anschaulich ins Verhältnis setzen? Irgendwie ist mir unklar, warum du immer auf Verhältnisse von "Dimensionen" (was immer du darunter auch verstehen mögest) hinaus möchtest. Warum reicht es dir nicht, zu sagen, dass du Drehkegel betrachten möchtest, deren Höhen gleich den Basiskreisdurchmessern sind. Wie das Ding im Raum herum liegt und welche Richtung du jetzt als Breite, Tiefe, Höhe, etc. bezeichnen möchtest, das ist doch egal, oder? Wenn ich bei dem Kegel von "Höhe" schreibe, ist damit immer der Normalabstand der Kegelspitze von der Basiskreisebene gemeint. |
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