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Real- und Imaginärteil
Universität / Fachhochschule
Komplexe Zahlen
Tags: Komplexe Zahlen
 
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Hallo! Ich habe 3 aufgaben hier,die ich nicht verstehen! 1)Berechnen Sie Real- und Imaginärteil der folgenden komplexen Zahl (1+i/1-i)^12769 2)Berechnen Sie die Lösungen der folgenden Gleichung Z^2-(3+5i)Z=16-4i 3)Bestimmen Sie die komplexen Zahlen z,die den folgenden Beziehungen genügen 1/|z| kleiner 1/|z-3i| Danke schön im Vorraus!! |
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Hallo, Ich mach' das alles mal sehr ausfühlich und nach, auch wenn es an der einen oder anderen Stelle mit Kanonen gegen Spatzen geschossen ist, aber so siehst Du den allgemeinen immer funktionierenden Weg. Die "Abkürzungen" kommen mit der Erfahrung von selbst! 1) Zunächst ermittelt man mal (1+i)/(1-i): (1+i)/(1-i) = (1+i)/(1-i) * 1 = (1+i)/(1-i) * (1+i)/(1+i) = ((1+i)*(1+i))/((1-i)*(1+i)) = (1+i)^2/(1-i^2) = (1+2*1*i+i^2)/(1+1) = (1+2*i-1)/2 = (2*i)/2 = i Das wandelt man in Polarkoordinaten um: i = 0 + 1*i = sqrt(0^2 + 1^2)*(cos(phi) + i*sin(phi)) = sqrt(1)*(cos(phi) + i*sin(phi)) = 1*(cos(phi) + i*sin(phi)) Durch Koeffizientenvergleich erhält man das Gleichungssystem: 0 = cos(phi) 1 = sin(phi) Die Lösung dieses Gleichungssystems ist phi=pi/2. Damit ergibt sich: i = 1*(cos(pi/2) + i*sin(pi/2)) Also: ((1+i)/(1-i))^12769 = i^12769 = (1*(cos(pi/2) + i*sin(pi/2)))^12769 = 1^12769*(cos(12769*pi/2) + i*sin(12769*pi/2)) = 1*(cos(12768*pi/2 + pi/2) + i*sin(12768*pi/2 + pi/2)) = 1*(cos(3192*2*pi + pi/2) + i*sin(3192*2*pi + pi/2)) ; wegen der Periodizität von sin und cos gilt = 1*(cos(pi/2) + i*sin(pi/2)) = i Realteil: 0 Imaginärteil: 1 2) z^2 - (3+5*i)*z = 16-4*i z^2 - (3+5*i)*z + (1/2*(3+5*i))^2 - (1/2*(3+5*i))^2 = 16-4*i z^2 - (3+5*i)*z + (3/2+5/2*i)^2 - (3/2+5/2*i)^2 = 16-4*i (z - (3/2+5/2*i))^2 - (9/4+15/2*i+25/4*i^2) = 16-4*i (z - (3/2+5/2*i))^2 - (9/4+15/2*i-25/4) = 16-4*i (z - (3/2+5/2*i))^2 - (-16/4+15/2*i) = 16-4*i (z - (3/2+5/2*i))^2 = 16-4*i + (-4+15/2*i) (z - (3/2+5/2*i))^2 = 16-4*i - 4+15/2*i (z - (3/2+5/2*i))^2 = 12+7/2*i z - (3/2+5/2*i) = sqrt(12+7/2*i) z = sqrt(12+7/2*i) + (3/2+5/2*i) Bleibt noch die Wurzel zu ermitteln! Also wieder die Polarkoordinaten: 12 + 7/2*i = sqrt(12^2 + (7/2)^2)*(cos(phi) + i*sin(phi)) = sqrt(144 + 49/4)*(cos(phi) + i*sin(phi)) = sqrt(576/4 + 49/4)*(cos(phi) + i*sin(phi)) = sqrt(625/4)*(cos(phi) + i*sin(phi)) = 25/2*(cos(phi) + i*sin(phi)) Koeffizientenvergleich: 12 = 25/2*cos(phi) ; cos(phi) = 24/25 7/2 = 25/2*sin(phi) ; sin(phi) = 7/25 Phi liegt im 1. Quadranten, d.h. unsere Lösungen sind ein Winkel phi kleiner gleich pi/4 (cos und sin positiv) und ein Winkel phi mit pi kleiner gleich phi kleiner gleich 5/4*pi (5/4 = 1/2*2+1/4; cos und sin negativ). Das machen wir hier zur Abwechslung mal mit Additionstheoremen: cos(1/2*phi) = +-sqrt((1+cos(phi))/2) = +-sqrt((1+24/25)/2) = +-sqrt((49/25)/2) = +-sqrt(49/50) = +- 7/5*sqrt(1/2) = +-7/10*sqrt(2) sin(1/2*phi) = +-sqrt((1-cos(phi))/2) = +-sqrt((1-24/25)/2) = +-sqrt((1/25)/2) = +-sqrt(1/50) = +-1/5*sqrt(1/2) = +-1/10*sqrt(2) z_12 = (3/2+5/2*i) + sqrt(12+7/2*i) z_12 = (3/2+5/2*i) + sqrt(25/2*(cos(phi) + i*sin(phi))) z_12 = (3/2+5/2*i) + sqrt(25/2)*(cos(1/2*phi) + i*sin(1/2*phi)) z_12 = (3/2+5/2*i) + 5*sqrt(1/2)*(+-7/10*sqrt(2) +- 1/10*sqrt(2)*i) z_12 = (3/2+5/2*i) + 5/2*sqrt(2)*1/10*sqrt(2)(+-7 +- *i) z_12 = (3/2+5/2*i) + 1/2*(+-7 +- 1*i) z_12 = (3/2+5/2*i) +- 1/2*(7 + i) z_12 = (3/2+5/2*i) +- (7/2 + 1/2*i) z_1 = (3/2+5/2*i) - (7/2 + 1/2*i) = -4/2 + 4/2*i = -2 + 2*i z_2 = (3/2+5/2*i) + (7/2 + 1/2*i) = 10/2 + 6/2*i = 5 + 3*i Probe: z_1^2 = (-2+2*i)^2 = 4-2*2*2*i+2^2*i^2 = 4-8*i-4 = -8*i (3+5*i)*z_1 = (3+5*i)*(-2+2*i) = -6+6*i-10*i+10*i^2 = -6-4*i-10 = -16-4*i z_1^2 - (3+5*i)*z_1 = -8*i - (-16-4*i) = -8*i+16+4*i = 16-4*i z_2^2 = (5+3*i)^2 = 25+2*3*5*i+9*i^2 = 25+30*i-9 = 16+30*i (3+5*i)*z_2 = (3+5*i)*(5+3*i) = 15+9*i+25*i+15*i^2 = 15+34*i-15 = 34*i z_2^2 - (3+5*i)*z_2 = 16+30*i - 34*i = 16-4*i c) Ist eigentlich die einfachste Aufgabe von den dreien hier: 1/|z| kleiner 1/|z-3*i| |z| größer |z-3*i| Sei z = a + b*i, dann gilt: sqrt(a^2 + b^2) größer sqrt(a^2 + (b-3)^2) = sqrt(a^2 + b^2 - 6*b + 9) Wegen der strengen Monotonie der Wurzelfunktion gilt dies genau dann wenn gilt: a^2 + b^2 größer a^2 + b^2 - 6*b + 9 | -a^2-b^2 0 größer 9 - 6*b | +6*b 6*b größer 9 | /6 b größer 3/2 Alle z mit einem Imaginärteil größer als 3/2 erfüllen die Ungleichung. |
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