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Real-und Imaginärteil Summenzeichen

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Imaginärteil, Komplexe Zahlen, realteil, Summenzeichen

Lamaa aktiv_icon

14:47 Uhr, 11.04.2014

Hallo ihr Lieben,

habe folgende Aufgabenstellung erhalten und komme einfach nicht weiter:
Berechnsen Sie jeweils den Real-und Imaginärteil der folgenden komplexen Zahlen

y, z

y = \sum_{l = 0}^{999999} i^{l}

Habe nun versucht das mit der Formel

\frac{1 - i^{n} + 1}{1 - x} (x \neq 1)

zu lösen:

\sum_{l = 1}^{999999} i^{l}

= \frac{1 - i^{999999} + 1}{1 - i}

= \frac{1 - i^{1000000}}{1 - i}

= \frac{1 - {(i^{2})}^{500000}}{1 - i}

= \frac{1 - {(- 1)}^{500000}}{1 - i}

= \frac{2}{1 - i}

Aber wenn das stimmt, wie bestimme ich dann daraus meinen Imaginär und Realteil?
Denn auf die Form z:=a+bi komme ich nicht...

Vielen Dank schonmal!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

LD90V aktiv_icon

15:25 Uhr, 11.04.2014

also bei

y

dürfte sowas wie

0, i, 1, - 1

rauskommen...

y = i - 1 - i + 1 + . .

999999 mod 4 = 3

von daher ist

das die selbe Summe wie

i^{1} + i^{2} + i^{3} = i - 1 - i = - 1

z =

+

i

ist eine comlexe zahl, sie besteht aus real- (re) und Imaginärteil (im). die Zahl

- 1

ist auch teil der complexen zahlen und hat den Imaginärteil 0.

DrBoogie aktiv_icon

15:26 Uhr, 11.04.2014

Am besten Du nutzt die Polarform-Darstellung:

z = r e^{i φ}

.
Konkret für

i

haben wir

i = e^{i π / 2}

, was auch ermöglicht, leicht alle Potenzen

i^{l}

darzustellen.
Noch ein wichtiger Punkt: da

i^{3} = - i

i^{2} = - i^{0} = - 1

i^{4} = 1

und

i^{4 + k} = i^{k}

,
eliminieren sich fast alle Deine Summanden. :-)

Update. Korrektur in

i = e^{i π / 2}

Bummerang

15:57 Uhr, 11.04.2014

Hallo,

der Ansatz von LD90V ist schon nicht schlecht, allerdings lässt die Ausführung zu wünschen übrig. Die Summe geht von

l = 0

bis

l = 999.999,

das sind insgesamt

1.000.000

Summanden. Da sich die Summanden (beginnend mit

l = 0)

mit den Werten

1, i, - 1

und

- i

zyklisch wiederholen, muss man die Anzahl der Summanden ganzzahlig mit Rest durch 4 teilen. Da kommt dann

250.000

Rest 0 raus, also ergibt die Summe:

250.000 \cdot (1 + i + (- 1) + (- i)) = 250.000 \cdot 0 = 0

Real- und Imaginärteil davon zu ermitteln überlasse ich Dir...

EDIT: @DrBoogie

i = e^{\frac{π}{2}}

???

EDIT2: @Lamaa

Dein Versuch über die endliche geometrische Reihe funktioniert natürlich auch, wenn man richtig rechnet:

\frac{1 - i^{999.999 + 1}}{1 - i} = \frac{1 - i^{1.000.000}}{1 - i} = \frac{1 - i^{4 \cdot 250.000}}{1 - i} = \frac{1 - {(i^{4})}^{250.000}}{1 - i} = \frac{1 - 1^{250.000}}{1 - i} = \frac{1 - 1}{1 - i} = \frac{0}{1 - i} = 0

EDIT3: @Lamaa
Nur zur Information, hat mit der Lösung dieser Aufgabe eigentlich nichts zu tun, aber es passt hier hin, da Du es scheinbar nicht weisst!

Von einem Bruch, wie

\frac{2}{1 - i}

ermittelt man den Real- und Imaginärteil, indem man einfach dividiert! Die Division einer komplexen Zahl durch eine andere wird dabei immer (wenn man nicht mit Polarkoordinaten rechnet) durch das Realmachen des Nenners erledigt. Das Realmachen des Nenners erfolgt dadurch, dass man den Bruch so erweitert, dass im Nenner eine reelle Zahl stehen bleibt. Jetzt hat man gelernt, dass bei der Multiplikation einer beliebigen komplexen Zahl

z

mit ihrer konjugiert komplexen Zahl

\bar{z}

als Ergebnis

{| z |}^{2}

herauskommt, das ja eine reelle Zahl ist. Deshalb erweitert man den Bruch mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners. Bei

1 - i

ist das der Faktor

1 + i

. Also ergibt sich:

\frac{2}{1 - i} = \frac{2 \cdot (1 + i)}{(1 - i) \cdot (1 + i)} = \frac{2 + 2 \cdot i}{2} = 1 + i

Und wenn das Deine Lösung gewesen wäre, könntest Du auch hier einfach den Real- und den Imaginärteil ablesen!

DrBoogie aktiv_icon

16:05 Uhr, 11.04.2014

i vergessen, natürlich
Ist sowieso nicht wichtig, die Aufgabe noch einfacher als ich zuerst gedacht habe.

Lamaa aktiv_icon

16:09 Uhr, 13.04.2014

Erstmal an Alle ein großes Dankeschön für die ausführlichen Antworten.

@Bummerang: Ja das hat mir sehr geholfen, auch wenn ich das eigentlich weiß mit der Multiplikation :-) Stand wohl total auf dem Schlauch!

oculus aktiv_icon

11:29 Uhr, 14.04.2014

Hallo, eine Zusatzbemerkung:

Die Aufgabe mit

999999

ist eine Aufgabe auf Dummenfang.

999999

ist eine ungerade Zahl, also gleich

2 \cdot n - 1

für ein bestimmtes

n \in ℕ

\Rightarrow s_{2 n} = \sum_{k = 0}^{2 n - 1} = \frac{1 - i^{2 n}}{1 - i} = \frac{2}{1 - i}

oculus

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