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Real-und Imaginärteil, alle 3.Wurzeln bestimmen

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Exponentialfunktion, Komplexe Zahlen

KerstinM aktiv_icon

12:45 Uhr, 15.03.2014

Hallo, ich löse gerade die folgenden Aufgabe für eine Klausur, aber ich brauche dringend Hilfestellungen. Die Aufgaben lauten:
1a) Berechnen Sie:

z^{5}

mit

z = 0, 2 * e^{i} \frac{π}{4}

Hier würde ich den Term hoch 5 nehmen, aber dann komme ich auch nicht mehr weiter.
b) Geben Sie für

z = 3 + i 5

den Real- und den Imaginärteil von

w = e^{z}

an.
Hier als erstes substituieren.
c) Bestimmen Sie alle 3.Wurzeln von

z = 3, 375 * e^{i} * 0, 75 π

Hier brauche ich einen Ansatz oder den Lösungsweg, hab leider keine Idee.

Ich wäre für jede Hilfe dankbar :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

rundblick aktiv_icon

12:49 Uhr, 15.03.2014

. .,

aber dann komme ich auch nicht mehr weiter."

\to

dann schreib doch erst mal auf, wie weit du da gekommen bist :

\to . .

. ?

dann sieht man vielleicht weiter..

"b) Geben Sie für

z = 3 + i 5

den Real- und den Imaginärteil von

w = e^{z}

an."

kannst du

z

einsetzen ?
kennst du dann Regeln für das Potenzrechnen?
mach mal so weit du kannst:

\to . .

KerstinM aktiv_icon

13:02 Uhr, 15.03.2014

also bei der a habe ich folgendes:

(0, 2 * e * i \frac{π}{4})^{5}

, dazu hab ich eine Formel gefunden, dann so

weitergerechnet:

(c o s (\frac{π}{4}) + i * s i n (\frac{π}{4}))^{5} * 0, 2

; weiß aber nicht obs stimmt.

b)

e^{(} 3 + i * 5)

rundblick aktiv_icon

13:08 Uhr, 15.03.2014

dein

a)

kann ich nicht lesen..

z^{5} = \frac{16 \cdot \sqrt{2}}{10^{5}} \cdot [- 1 - i]

bei

b)

solltest du den nächsten Schritt doch machen können : Potenzrechnen:

a^{m + n} =

?*?

KerstinM aktiv_icon

13:16 Uhr, 15.03.2014

Wie kommst du bei der a) auf die Zahl 16 und

\sqrt{2}

und überhaupt auf diesen Term??

zur b)

e^{3} * e^{(} i * 5)

, aber ist das auch so bei komplexen Zahlen?

rundblick aktiv_icon

13:25 Uhr, 15.03.2014

"aber ist das auch so bei komplexen Zahlen?"

\to

aber was ist das denn für eine Frage? komplexe Zahlen sind AUCH Zahlen
und damit darf man nach gewissen bewährten Regeln umspringen..

also

e^{3 + 5 \cdot i} = e^{3} \cdot e^{5 \cdot i} = e^{3} \cdot [cos (5) + i \cdot sin (5)]

...(Winkel im Bogenmass!!)

wie gross ist dann also der Betrag ?
und wie sehen dann Real- und Imaginärteil dieser Zahl aus?

\to

KerstinM aktiv_icon

13:31 Uhr, 15.03.2014

ok, Danke!
Also der Realwert beträgt: cos(5); ca.0,996 und der Imaginärteil: sin(5), ca.0,087

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13:35 Uhr, 15.03.2014

"
Also der Realwert beträgt:

cos (5);

ca.0,996 und der Imaginärteil:

sin (5),

ca.0,087"

?

\to

bist du sicher, dass du deinem Rechner beigebracht hast, dass er im Modus "Radiant"
sich umschauen soll, um herauszufinden was zB

sin (5)

sei ?
usw?

KerstinM aktiv_icon

13:37 Uhr, 15.03.2014

sin5 ca.-0,9589 und cos5 ca. 0,2837. So richtig?

und kannst du mir sagen wie ich am besten bei der c vorgehe?

rundblick aktiv_icon

13:41 Uhr, 15.03.2014

"sin5 ca.-0,9589 und

cos 5

ca.

0,2837

. So richtig?"

sieht schon viel besser aus

aber um nun Real- und Imaginärteil der Zahl zu bekommen musst du ja
noch etwas weiter rechnen..

(da steht ja noch ein Betrag vor der Klammer rum)

also dann (Lösung von

b) \to

Re(w) = ?
Im(w) = ?

KerstinM aktiv_icon

13:46 Uhr, 15.03.2014

Re(w)=

e^{3} * (- 0, 9589) = - 19, 26

Im(w)=

e^{3} * i * 0, 2837 = 5, 698

KerstinM aktiv_icon

13:55 Uhr, 15.03.2014

Und wie gehe ich bei der c vor?

rundblick aktiv_icon

13:55 Uhr, 15.03.2014

bei

c) : z = w^{3}

gesucht sind die Lösungen von

w^{3} = \frac{27}{8} \cdot e^{(\frac{3}{4} π + 2 k π) \cdot i}

\Rightarrow

w_{k} = \frac{3}{2} \cdot [cos (\frac{1}{4} π + \frac{2}{3} k \cdot π) + i \cdot sin (\frac{1}{4} π + \frac{2}{3} k \cdot π)] . .

. für

k = 0,1,2

Beispiel: erste Lösung für

k = 0 \to

w_{0} = \frac{3 \cdot \sqrt{2}}{4} \cdot [1 + i]

usw..

(die Lösungs-Punkte

w_{0}, w_{1}

und

w_{2}

sind die Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks
in der Gauss-Ebene)

nebenbei:
deine Antwort zu

b)

ist wohl noch nicht so ganz richtig
also:
welches ist der Realteil .. und welches der Imaginärteil?
?!

KerstinM aktiv_icon

14:01 Uhr, 15.03.2014

Vielen Dank, hat mir sehr weitergeholfen :-)

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