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Reale Funktionen mit Polynom annähern
Universität / Fachhochschule
Funktionen
Tags: Funktion, polynom
 
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Hallo! Ich besitze 3 reale Ausgangskennlinien eines elektronischen Bauelements (Spannung, Strom) bei verschiedenen Versorgungen (siehe Bild). Die untere Kennlinie entsteht, wenn man das Bauelement mit versorgt, die obere bei (nennen wir diese Variable . Nun möchte ich diese Kennlinien als Gleichung darstellen. Ich habe dafür auch einen guten Weg gefunden, der aber anscheinen nicht bei etwas anderen Kennlinien anwendbar ist. Das ist dann letztendlich meine Frage an die User, wann funktioniert die Methode, die ich unten beschreiben werde, und wann nicht. Meine Methode zur erstellen einer Gleichung für alle 3 Kennlinien: Herauskommen soll eine Funktion, die so aussehen soll: . ist wie schon im Graphen zu sehen ist von variierbar. Der Graph soll jedoch am Ende bei einem vorher festgelegten geplottet werden. Ich gehen nun so vor, dass ich in Excel die 3 Graphen durch ein Polynom 5. Grades darstellen lasse. Anschließend notiere ich die Faktoren des Polynoms in einer Tabelle, für 3 verschiedene (KoeffX4, KoeffX3, KoeffX2...). Nun lasse ich die notierten Koeffizienten wieder in einem Graph anzeigen (KoeffX4 hat nun also 3 Werte, da er abhängig von ist). Diese Kurven die dort entstehen lasse ich nun wieder durch ein Polynom annähern . Grades) und habe nun die Gleichungen für die speziellen Koeffizienten in abhängigkeit von U. Diese Gleichungen in das anfängliche Polynom eingesetzt ergeben nun meine Gleichung . Nun kann ich für auch einen Wert von beispielsweise angeben, und die vorher noch unbekannte Kurve wird sehr realitätsnah angezeigt. Jedoch funktioniert diese Methode nicht bei allen Graphen . anderer elektrischer Bauelemente), und ich weiß nicht warum. Oft kommt es vor, dass der Graph zwischen zwei bekannten Kurven richtig dargestellt wird, und beim überschreiten eines Wertes . krümmt sich der Graph plötzlich in die andere Richtung. Meine Überlegungen, an was es vielleicht liegen könnte: -Kurven dürfen nur konkav gebogen sein? -Die Kurven müssen sich an einen y-Wert annähern -Die Kurven dürfen nicht gegen unendlich gehen (also der Beispielgraph im Bild war . nicht möglich darzustellen, wenn man und y-Achse vertauscht hat) -??? Ich wäre super glücklich, wenn mir jemand dieses Phänomen mathematisch erklären könnte. Oder Fehler in meiner Methode entdecken würde. Oder einfach nur einen hilfreichen Rat hat :-) Danke!  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Grundsätzlich sind Polynome nicht immer die besten Approximanden. Das Polynom vom Grad das durch geht, sieht nicht so aus, wie man es sich vielleicht erhofft, sondern oszilliert zwischen den Stützpunkten. Wenn man auf diese Weise auch noch etwas "indirektes" wie die Koeffizienten von diversen Polynomen interpolieren will, können diese quasi unabhängig voneinenader oszillieren und führen dann zu völlig unbrauchbaren Approximationen. |
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Aber bei den angegebenen Graphen Funktioniert diese Methode unglaublich gut. Ich habe mal ein Bild angehängt, in dem die gelbe Kurve beispielsweise durch meine erzeugte Funktion generiert wurde. Im Bereich von Funktioniert das klasse. Bei anderen Funktionen anderer Bauelemente, die dem verwendeten jedoch sehr ähnlich sehen, funktioniert diese Methode wiederum nur bis zum Mittleren Graphen, darüber wird das Ergebnis sprunghaft falsch . ab ist die Biegung des Graphen plötzlich falsch).  |
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Hast du davon auch ein Beispiel? |
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Oberes Bild: Kurve ist noch richtig gekrüummt Unteres Bild: (also ab der zweiten Kurve, die zum annähern herangezogen wurde) Kurve krümmt sich ins negative, und nähert sich von dort an den Finalen Wert von an  |
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Ja, das passiert durchaus. Vor allem in Richtung Außenberiech fangen Interpolationspolynome an, besonders stark zu oszillieren. Siehe etwa das Bild "Interpolationspolynom 7. Grades" bei de.wikipedia.org/wiki/Interpolation_%28Mathematik%29 |
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Ich wollte die bisher erstellten Formeln jedoch in einer Arbeit verwenden. Aber wie begründe ich, dass ich diese Gleichungen nicht für alle Graphen aufstellen konnte? Muss eine handfeste belegbare Begründung sein. |
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Vielleicht wären Spline-Interpolationen sinnvoller? Dass Polynome nicht gut zum Interpolieren geeignet sind (wohlgemerkt, wenn man den Grad passend zur Zahl der Stützstellen wählt), ist eine hinreichend bekannte Tatsache. |
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Solange man den Graph der zur Funktion herangezogenen Messpunkte betrachtet, klappt Polynom leidlich. Ausserhalb des Bereiches der Messpunkte "haut die Funktion ab" - eine Extrapolation ist mit Polynom nicht möglich. Kennlinien von Halbleitern folgen oft einer Exponential- bzw Logarithmusfunktion. Damit approximiert, stimmt dann auch die Fortführung der Kurve nach dem letzten Messwert noch einigermassen. |
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Ich werde wohl ei paar Einschränkungen bei diesen Annäherungen hinnehmen müssen. Danke für die Hilfe! |
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