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Realteil auf Stetigkeit überprüfen

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Analysis, Komplexe Zahl, Stetigkeit

EzioA aktiv_icon

19:20 Uhr, 07.01.2017

Hi, wir haben

h : ℂ \to ℂ, h (z) := R e (z)

gegeben.
Nun sollen wir h auf Stetigkeit überprüfen.
Ich bin mir bei der Aufgabe nicht ganz sicher, ob ich die richtig verstehe.
Da der Realteil einer komplexen Zahl einfach x ist, hat man doch

h (z) = x

Ich weiß jetzt nicht genau, ob die komplexe Zahl hierbei relevant ist, oder ob es gleichbedeutend mit

f (x) = x

ist, wo es sehr einfach wäre die Stetigkeit zu beweisen.
Da allerdings deutlich anspruchsvollere Aufgaben die gleiche Punktzahl bringen muss ich hierbei irgendwas falsch verstehen :/
Kann mir bitte wer sagen wie das hier gemeint ist?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

pwmeyer aktiv_icon

19:23 Uhr, 07.01.2017

Hallo,

Du musst zeigen:

z_{n} \to z_{0} \Rightarrow

Re(

z_{n}) \to

Re(

z_{0})

Das ist allerdings sehr einfach.

Gruß pwm

EzioA aktiv_icon

19:31 Uhr, 07.01.2017

Hi pwm, ich wäre mir gerade etwas unsicher, wie ich das mathematisch beweisen soll.
Wenn

z_{n} \to z_{0}

geht ist ja klar, dass der Realteil von

z_{n}

gegen den Realteil von

z_{0}

geht, und der Imaginärteil von

z_{n}

gegen den Imaginärteil von

z_{0}

.
Soll man das einfach mit einem Beispiel zeigen?

pwmeyer aktiv_icon

19:37 Uhr, 07.01.2017

Hallo,

"Soll man das einfach mit einem Beispiel zeigen?" Nein, natürlich nicht. Begründe doch einfach, wieso die Aussage "klar" ist - wie Du gesagt hast.

Gruß pwm

EzioA aktiv_icon

19:45 Uhr, 07.01.2017

Komplexe Zahlen sind in zwei Teile aufgeteilt. Einen Imaginär, und einen Realteil.
Deswegen muss, wenn nun eine Komplexe Zahl gegen eine zweite läuft, der Imaginärteil gegen den der zweiten und auch der Realteil gegen den der zweiten laufen.
So hätte ich das jetzt begründet.

ledum aktiv_icon

21:29 Uhr, 07.01.2017

Hallo
was du meinst ist richtig, aber ungeschickt ausgedrückt. statt :Komplexe Zahlen sind in zwei Teile aufgeteilt, besser bestehen aus Realteil und imaginärere, ich nenne sie

x

und

y

hier f(x+iy)=x
es gilt:

f

ist stetig, bei

z_{0}

wenn es zu jedem

ε > 0

ein

δ

gibt mit

| z - z_{0} | < δ \to | f (z) - f (z_{0} | < ε

jetzt

| z - z_{0} | = \sqrt{{(x - x_{0})}^{2} + (y - y_{0}) < δ}

folgt

| x - x_{0} | < δ

und damit kann man

δ = ε

wählen.
für viel Punkte sollte man formal richtig argumentieren und nicht mit etwa ungenauen Worten.
übrigens dein

f (x) = x

wäre falsch hier wird ja die ganze Gaußsche Ebene auf die reelle Achse projiziert! und nicht die reelle Achse auf sich !
der Beweis läuft also fast wie im Reellen. bist du sicher, dass nach Stetigkeit und nicht nach holomorph gefragt wurde?
Gruß ledum

EzioA aktiv_icon

21:38 Uhr, 07.01.2017

Hi ledum, danke für die Hilfe :-)
Zumindest bei uns ist in Analysis I das Wort holomorph noch nie erschienen, wir sollten sicher auf Stetigkeit überprüfen.
Ich kann einen Schritt nicht nachvollziehen, warum ist es

(y - y_{0})

und nicht

{(y - y_{0})}^{2}

?
Bei dem Betrag einer komplexen Zahl wird ja eigentlich beides quadriert, oder war das nur ein Tippfehler?

ledum aktiv_icon

01:57 Uhr, 08.01.2017

Hallo
bei

(y - y_{0})

hab ich einfach das Quadrat vergessen, sorry
Gruß ledum

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