Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Rechenbeispiel rekursive Folge

Rechenbeispiel rekursive Folge

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen, Reihen, rekursive Folgen

tommy40629 aktiv_icon

13:39 Uhr, 03.09.2012

So, ich habe eine rekursive Folge "berechnet".

Beim Nachweis der Beschränktheit ging für die untere Schranke irgend wie Etwas schief. Ich habe das Unklare auch extra rot geschrieben.

Bei rekursiven Folgen muss man ja eigentlich immer 3 Dinge zeigen;

Grenzwert, Monotonie, Beschränktheit, aus M+B folgt Konvergenz. ??

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

michaL aktiv_icon

14:00 Uhr, 03.09.2012

Hallo,

tja, wie du in einem anderen thread schon schriebst: Verstanden hast du das alles wirklich nicht.
Bei dir geht schief: Offenbar bist du der Meinung, dass eine obere Schranke ECHT größer und analog eine untere Schranke ECHT kleiner sein muss.
Da bist du vielleicht nicht der einzige, aber sicher der einzige Mathematiker. Setzt du bei deinen Rechnungen statt "

<

" die Relation "

\leq

" und statt "

>

" die Relation "

\geq

" ein, dann passt es.

Zur angedeuteten Frage: > [...] aus M+B folgt Konvergenz. ??
Hast du eine Analysis-Vorlesung besucht? Das ist ein zentraler Grenzwertsatz der reellen Analysis. (mit Betonung auf zentral)

Zur Aufgabe:
Wenn die Folge monoton steigend ist, reicht es aus zu beweisen, dass sie nach oben beschränkt ist. Die Angabe einer unteren Schranke ist (zumindest in deinem Fall unnötig).

Infolge dessen könnte bei dieser sehr einfachen rekursiven Folge der Beweis der Konvergenz gegen 4 auch sehr einfach so aussehen:

(i) Monotonie

a_{n + 1} \leq a_{n}

I.anfang:

a_{1} = 1 \leq 3 = a_{3}

I.Ende:

a_{n} = \sqrt{a_{n - 1}} + 2 \leq \sqrt{a_{n}} + 2 = a_{n + 1}

wegen

a_{n - 1} \leq a_{n}

(ii) Beschränkt:

a_{n} \leq 4

I.anfang:

a_{1} = 1 \leq 4

I.ende:

a_{n + 1} = \sqrt{a_{n}} + 2 \leq \sqrt{4} + 2 = 4

Daraus folgt, dass

(a_{n})_{n \in ℕ_{\geq 1}}

konvergent ist.
Sei

a := lim_{n \to \infty} a_{n}

der Grenzwert.
Dann gilt:

a = \sqrt{a} + 2

, was (nach ein bischen Rechnerei) nur für

a = 4

gilt, nicht für

a = 1

!

Warum ist bei dir

a = 1

ebenfalls eine Lösung? Nun, du quadrierst und machst deshalb aus der falschen Gleichung

- 1 = 1

eine richtige!
An diesem Beispiel erkennt man, wie wichtig es ist, sich darüber Gedanken zu machen, ob die verwandten Umformungen Äquivalenzumformungen sind. Sind sie es (wie in deinem Falle) nicht, so muss am Ende eine Probe her!

Mfg und viel Erfolg für die Wiederholung der Prüfung!
Michael

tommy40629 aktiv_icon

14:22 Uhr, 03.09.2012

Danke!

Ich weiß, dass es viele obere und untere Schranken gibt. Ich hätte vielleicht besser sagen sollen; Ich will zeigen, dass a die größte untere Schranke ist und b die kleinste obere Schranke ist und das sich die Folge "dazwischen aufhält".

Ich sollte es vielleicht wie mein ANA1- Prof machen, er unterscheidet nicht zwischen zwischen streng monoton fallen oder steigend, er schreibt immer monoton fallend oder steigend. Hätte ich das gemacht, dann wäre mir das gar nicht passiert.

1024819

1024807

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?