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Rechenregel Binomialkoeffizienten

Universität / Fachhochschule

Binomialkoeffizienten

Tags: Binomialkoeffizient

anonymous

18:27 Uhr, 11.05.2010

Hi,
folgendes:

Es soll gelten: Summe (für

i + j = k; i, j \geq 0) (a

über

j) \cdot (b

über

j) = (a + b

über

k)

wobei die Summe links bedeutet:

(a

über

0) \cdot (b

über

k) + (a

über

1) \cdot (b

über

k - 1) + ... . . + (a

über

k - 1) \cdot (b

über

1) + (a

über

k) \cdot (b

über

0)

Mit der kombinatorischen Bedeutung der Binomialkoeffizienten(anstatt der Induktion) solls einfacher gehen.

Danke.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

Bobbey aktiv_icon

12:36 Uhr, 12.05.2010

google halt mal nach "additionstheorem der binominalkoeffizienten",
findest bestimmt was. meinen persönlichen horizont übersteigt das allerdings... ;-)

anonymous

13:53 Uhr, 12.05.2010

Hab ich schon versucht,aber nichts gescheites dazu gefunden.

Bobbey aktiv_icon

20:17 Uhr, 12.05.2010

ich hab ein buch in dem das teil bewiesen ist. wenn du willst kann ichs dir abtippen. aber wegen "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." geh ich mal nicht davon aus.

anonymous

11:53 Uhr, 13.05.2010

Bin die ganze Gleichung mal mit Zahlen durchgegangen.Das war schon ein höllischer Aufwand.Das wäre natürlich super, wenn du das machen könntest.Ich weiß es echt nicht.

Bobbey aktiv_icon

13:01 Uhr, 13.05.2010

habs gescannt. musste allerdings die quali runterschrauben da hier

max

500kb bilder hochgeladen werden können, hoffe du kannsts lesen.

anonymous

13:08 Uhr, 13.05.2010

Vielen Dank,aber der Satz wird hier mithilfe der Induktion bewiesen.Besser wäre es gewesen, wenn auf die kombinatorischen Bedeutung hingewiesen hätte.

hagman aktiv_icon

14:32 Uhr, 13.05.2010

Habe ich

a

rote und

b

schwarze Spielkarten, so kann ich daraus auf

(\begin{matrix} a + b \\ k \end{matrix})

Weisen

k

Karten auswählen.
Ich kann mir aber auch erst zwei Zahlen

i, j

mit

i + j = k

ausdenken und

i

rote und

j

schwarze Karten auswählen.

□

anonymous

15:03 Uhr, 13.05.2010

Das ist mir schon klar,was die Binomialkoeffizienten bedeuten,nur wie man dies beweisen kann, scheint mir sehr schwierig zu sein.

hagman aktiv_icon

15:09 Uhr, 13.05.2010

Das war doch ein "Beweis" über die kombinatorische Interpretation:
Die Anzahl der k-Mengen von Spielkarten wurde auf zweierlei Weisen berechnet,
einerseits als

(\begin{matrix} a + b \\ k \end{matrix}),

andererseits als

\sum_{i + j = k} (\begin{matrix} a \\ i \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} b \\ j \end{matrix})

.
-

Noch ein anderer Beweis geht übrigens so:
Der Koeffizient von

x^{k}

im Ausdruck

{(1 + x)}^{a + b}

ist

(\begin{matrix} a + b \\ k \end{matrix})

und in

{(1 + x)}^{a} \cdot {(1 + x)}^{b}

ist es (Cauchy-Produkt!) genau

\sum_{i + j = k} (\begin{matrix} a \\ i \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} b \\ j \end{matrix})

Wegen

{(1 + x)}^{a + b} = {(1 + x)}^{a} \cdot {(1 + x)}^{b}

folgt die Behauptung

anonymous

15:13 Uhr, 13.05.2010

ok,danke!Aber der zweite Beweis ist ziemlich schwierig zu verstehen.Noch nie was von dem Cauchy-Produkt gehört.Formal blick ich da nicht wirklich durch.

hagman aktiv_icon

17:49 Uhr, 13.05.2010

Den kannst du ja ignorieren, wenn der erste (ja letztlich in der Augfgabe geforederte) dir klar ist.
Das Stichwort Cauchy-Produkt sollte nichts anderes heißen als, dass der Koeffizient von

x^{k}

bei

(a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + . .

) \cdot (b_{0} + b_{1} x + b_{2} x^{2} + ...)

genau

\sum_{i + j = k} a_{i} b_{j}

ist: Um auf ein Vielfaches von

x^{k}

zu kommen, muss man

a_{i} x^{i}

ja offenbar mit einem Vielfachen von

x^{k - i}

multiplizieren, also mit

b_{j} x^{j},

wenn man

j = k - i

setzt

anonymous

18:43 Uhr, 13.05.2010

Alles klar,danke hagman!

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