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Rechenregel der Determinante bei Blockmatrizen

Universität / Fachhochschule

Determinanten

Tags: blockmatrizen, Determinanten, Rechenregel

FarrahFowler aktiv_icon

22:51 Uhr, 27.06.2014

Hallo zusammen,

es geht um folgende Aufgabe:

Sei

R

ein kommutativer Ring mit Eins,

n_{1}, n_{2} \in ℕ, A_{i, j} \in R^{n_{i}, n_{j}}

für

i, j \in {1,2}

.

Zeigen Sie: Es gilt

det ([\begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \end{matrix}]) = det (A_{11}) det (A_{22})

Wir sollen das mit der Leibnizformel zeigen und damit komme ich nicht so klar. Ich weiß zwar, wie ich die Leibnizformel benutze, um Determinanten einer gegebenen Matrix zu berechnen, aber für diesen allgemeinen Fall fällt es mir sehr schwer.

Mein Ansatz:

Die Blockmatrix ist von der Größe

n_{1} + n_{2} x n_{1} + n_{2},

also müsste die Formel so aussehen

\sum_{σ \in S_{n_{1} + n_{2}}}

sgn

(σ) \prod_{i = 1}^{n_{1} + n_{2}} a_{i, σ (i)}

.

Ja gut, und nun? Hab absolut keine Ahnung, wie ich nun weiter machen kann. Mir ist theoretisch klar, dass bei der Formel ganz viele Einträge weg fallen, da der Block

A_{21}

eben die Nullmatrix ist. Aber wie genau kann ich das hier verwenden?

Vielen Dank für jede Hilfe! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

FarrahFowler aktiv_icon

23:20 Uhr, 28.06.2014

Hmm, hat niemand eine Idee?
Was ich bis jetzt rausgefunden habe, ist dass

A_{i, j} = 0

für alle

j \leq n_{1} < 1

(also der Nullblock). Demnach fallen alle Permutationen in der Formel weg, für die gilt

σ (i) \leq n_{1}

für alle

i \in {n_{1} + 1, ..., n_{2}}

.

Inwieweit kann ich das benutzen? Hoffe jemand kann mir helfen.

DrBoogie aktiv_icon

10:35 Uhr, 29.06.2014

"Ich weiß zwar, wie ich die Leibnizformel benutze, um Determinanten einer gegebenen Matrix zu berechnen, aber für diesen allgemeinen Fall fällt es mir sehr schwer."

Kucke den letzten Beitrag hier:
http://www.matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=166766&ref=https%3A%2F%2Fwww.google.de%2F

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