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Rechenregeln Determinante
Schüler
Tags: Frage
 
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Hallo, ich habe paar Rechenregeln für Determinanten geschrieben, und in den Klammern, ob man das auch für Matrizen anwenden kann. Ich habe ein rotes Fragezeichen gesetzt, weil ich mir unsicher war,ob das so stimmt, was ich diese Klammern geschrieben habe.  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Rechenregeln zum Integral Rechnen mit Logarithmen |
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Hallo, du gehst von einer Matrix aus und hast dann jeweils die Rechenregeln für die Determinante aufgeschrieben. Soweit so gut. Jetzt hast du Abwandlungen dieser Regeln aufgeschrieben und dies auf eine Matrix bezogen. Das passt nicht, da der Zusammenhang in dem die Matrix verwendet wird nicht klar ist. Regel 4 z.B. kann z.B. auf eine Matrix als solche gar nicht angewendet werden. Vielleicht meinst du ein Gleichungssystem in Matrix schreibweise. Also z.B. so |
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Hallo, ich finde das Ganze einfach an den Haaren herbeigezogen, basierend darauf, dass der Fragesteller irgendwie noch nicht verstanden hat, was eine Determinante ist! Eine Determinante ist einfach eine reelle oder komplexe Zahl, die man einer Matrix aus bzw. zuordnet. Kurz: bzw. Insofern kann ich in keiner Determinante Zeilen oder Spalten tauschen oder addieren! Ich kann die formal vorgegebene Definition der Determinantenberechnung bei größeren Matrizen nicht mehr sinnvoll anwenden, jedenfalls nicht händisch, ohne dabei Fehler zu machen oder mindestens zu riskieren. Deshalb hat man sich Verfahren ausgedacht, die Berechnung der Determinante zu vereinfachen. Entweder führt man dabei die Berechnung für (n,n)-Matrizen auf Berechnungen für (n-1,n-1)-Matrizen zurück (Entwicklung nach einer Zeile oder einer Spalte) oder man sucht nach (n,n)-Matrizen mit gleicher Determinante (entstanden . durch Zeilen- und Spaltenoperationen) oder man formt zu Matrizen um, deren Determinante bekannt ist . Was der Fragesteller, wenn überhaupt hier suchen kann, sind Matrixumformungen, die die Determinante nicht ändern und Matrixumformungen, die die Determinante gezielt ändern (siehe letztes Beispiel). In jedem Falle aber handelt es sich um Matrixumformungen! Bei Gleichungssytemen gilt ähnliches. Man kann aus einem Gleichungssystem eine Matrix ableiten und umgekehrt. Es ist eine 1:1-Zuordnung. Dann gibt es Matrixumformungen, die für die Lösung von Gleichungssystemen erlaubt sind, so dass man eine neue Matrix erhält, die einem anderen Gleichungssystem zugeordnet ist, welches aber genau die selbe Lösungsmenge hat. Mit anderen Worten: Hier hat man Matrixumformungen, bei denen im zugeordneten LGS die Lösungen erhalten bleiben. Fazit: Der Fragesteller muß einfach verstehen, dass es Unmengen von Matrixumformungen gibt. Diese unterscheiden sich darin, dass sie mal die Determinante nicht ändern, mal die Determinante ganz bewußt ändern und mal die Lösung des zugeordneten LGS erhalten. Wenn er etwas sinnvoll zusammenstellen will, dann macht er eine Tabelle mit allen Matrixumformungen in der ersten Spalte, dann in den anderen Spalten die Anwendungen für Matrizen . Determinante oder LGS und in die Zellen schreibt er dann rein, was diese Matrixumformungen für das Ergebnis bedeuten. . die Matrixumformung, dass in einer Zeile alle Werte durch den Faktor geteilt werden. Bei der Determinante bedeutet das, dass die Determinante der so erzeugten Matrix mit multipliziert werden muß, damit man die Determinante der gegebenen Matrix erhält. Bei LGS bleibt die Lösungsmenge unverändert. Oder das selbe mit einer Spalte. Bei den Determinanten kommt das selbe raus! Bei LGS entspricht das einer Variablensubstitution. Teile ich in der Matrix durch muss ich in der Lösung die dieser Spalte zugeordnete Variable im Wert auch durch teilen. Aber das gilt nur für die ersten Spalten! Wie ändert sich das Ergebnis, wenn ich die letzte, die Ergebnisspalte durch teile? Da muß man am Ende alle Lösungen mit multiplizieren! So eine Tabelle könnte er gern mal erstellen. Aber der bisherige Ansatz ist Unfug und scheitert daran, dass der Fragesteller die Begriffe nicht den Definitionen gemäß verwendet! |
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@Bummerang "Der Fragesteller muß einfach verstehen, dass ..." Warum sprichst du Christian in der 3. Person an? Was will Bummerang damit bezwecken? |
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"Was will Bummerang damit bezwecken?" Na Logisch: Den pivot wecken! "Das reimt sich ja! Und alles was sich reimt ist gut!" -sagt der Pumuckl und der muß es ja wissen! |
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@Bummerang Finde gut, dass du mich geweckt hast. Ich nämlich über deinen überlangen Text schon eingeschlafen. |
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Ich habe dem Fragesteller geantwortet, nicht Dir! Für Dich hätte ich den Text auf das wesentliche zusammengeschrumpft: "Grober Unfug!" Dem Fragesteller hier, habe ich das etwas diplomatischer verpackt und ihm noch ein paar Hinweise gegeben, wie er es besser machen kann. Dann wird es halt etwas ausführlicher. Aber ich merk' es mir: pivot kurz und knapp! |
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Hallo Bummerang, danke für den Ausführlichen Text. Ich weiß schon, was eine Determinante ist. Mir ging es eigentlich nur um die Rechenregeln und Beziehungen. Wenn wir uns eine Matrix betrachten, und dort beispielsweise 2 Zeilen oder Spalten tauschen, dann wird da kein Vorzeichen geändert(wie denn auch, geht ja nicht). Wenn wir es aber bei einer Determinante einer -Matrix machen, dann wird das Vorzeichen geändert,ohne das sich dabei die Determinante ändert. Wir können uns eine Matrix betrachten, und dort beispielsweise eine Zeile mit einem Faktor multiplizieren (schön und gut). Und genausogut können wir eine Zeile bei der Determinante dieser Matrix mit einem Faktor multiplizieren ohne das sich dabei die Determinante ändert. Der Vergleich ist erst mal für dich sinnlos, aber für mich sehr wichtig, damit ich diese Unterscheidung kenne. Und so weiter... Dort wo ich ein Fragezeichen gesetzt habe, war ich mir halt unsicher, ob man das so schreiben kann. Aber nun weiß ich ich es. Ich kann es so aufschreiben, außer bei der Nr. 3. Dort habe ich geschrieben, dass man bei einer Matrix keine Spalten miteinnander addieren kann. Stimmt das? nehmen wir mal an ich habe eine Matrix: Kann ich hier Spalten miteinander addieren? Zeilen kann man ja addieren, aber gehen auch Spalten? Wenn man sich die Determinante dieser Matrix anschaut, dann kann man sehr wohl dort Spalten miteinander addieren, ohne das sich die Determinante ändert. Kann man aber auch bei dieser Matrix die Spalten addieren, ohne das sich dabei später bei der Berechnung der Werte etwas umändert und somit das Ergebnis nicht korrekt wird? Verstehst du, worauf ich hinaus will Bummerang? |
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Hallo Christian eine Matrix wird in Mathematik meist dazu benutzt Abbildungen vonR nach zu bilden, Du verwendest Matrix aber eigentlich nur als Ersatz für ein lineares Gleichungssystem! bei einer Abbildungsmatrix kann man alle deine Operationen nicht benutzen, bei GS schon. eine Gleichung ändert sich nicht, wenn du sie mit einer Zahl multiplizierst, eine Matrix schon, wenn du eine Zeile mit multiplizierst, auch eine Det. ändert dabei übrigens ihren Wert. Bei Gleichungen , die als Matrix aufgeschrieben sind kannst du natürlich die Zeilen wild vertauschen, wenn du spalten vertauschst, werden dabei ja und vertauscht, Aber da alle regeln, die man bei Det, benutzen kann gut in wiki aufgeschrieben sind, warum willst du nicht das einfach kopieren, und bitte nicht mit matrices durcheinander bringen. Heute rechnet man "zu Fuß" nur Det mit vielen nullen oder bis aus, den Rest macht man mit Programmen, bzw. online Rechnern Du willst doch hoffentlich nicht auch Regeln dafür aufschreiben, wie man 7 stellige Zahlen durch 5 stellige teilt? Gruß ledum |
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Hallo ledum, danke für die Antwort, Du verwendest Matrix aber eigentlich nur als Ersatz für ein lineares Gleichungssystem! (ledum) Weiß ich. bei einer Abbildungsmatrix kann man alle deine Operationen nicht benutzen (ledum) Weiß ich, aber es geht mir nicht darum. ,,wenn du sie mit einer Zahl multiplizierst, eine Matrix schon, wenn du eine Zeile mit multiplizierst, auch eine Det. ändert dabei übrigens ihren Wert." (ledum) Das ist falsch was du sagst. Wenn man eine Zeile bei einer Determinante einer Matrix multipliziert, dann wird der Wert der Determinante nicht verändert. Beispiel: Multiplizieren wir mal die 1. Zeile mit dem Faktor . Soll als Beispiel sein. Die Determinante ändert sich also nicht. wenn du spalten vertauschst, werden dabei ja .By und vertauscht Danke für die Info, war logisch hehe. ;-) Du willst doch hoffentlich nicht auch Regeln dafür aufschreiben, wie man 7 stellige Zahlen durch 5 stellige teilt? Soweit gehe ich nicht, hahah. Aber danke dir für deine Hilfe. |
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,,wenn du sie mit einer Zahl multiplizierst, eine Matrix schon, wenn du eine Zeile mit multiplizierst, auch eine Det. ändert dabei übrigens ihren Wert." (ledum) Natürlich ist das korrekt. Du hast unglücklicherweise eine Determinante mit Wert 0 gewählt. probier's mal mit einer Determinante .   |
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Hallo wie schön, du hast festgestellt dass also meine Behauptung bestätigt. Immer das einfachste verwenden! und dann red nicht allgemein von Matrix, wenn du GS meinst. die einfachste Regel . zu berechnen, auf Dreiecksform bringen mit Gauss und die diagonalenelemente multiplizieren sagst du nicht. ledum |
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Ah so ja, natürlich muss man dann die Determinante mit multiplizieren. PS Du hast da ein Vorzeichenfehler drinnen. |
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Danke! |
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