Rechenregeln Fakultäten

Hallo,

ich verstehe die im Bild gezeigten Rechenregeln nicht ganz.

Eh ich es wieder vergesse: k,n Element von N und k kleiner gleich n

Zu 1.)

n!=n*(n-1)!

n! = 1*2*3*...*n

(n-1)! =1*2*3*...*(n-1) wenn man jetzt hier einfach mal links und rechts mal n, also *n rechnet;

n*(n-1)! = 1*2*3*...*(n-1)*n

Wenn das so stimmt dann habe ich ja das 1. verstanden oder ist was falsch??

Zu 2.)

${\displaystyle \frac{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}!}{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}!}=(\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)*\mathrm{...}*\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\prod _{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

${\displaystyle \frac{1*2*3*\mathrm{...}*\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{1*2*3*\mathrm{...}*\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=(\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)*\mathrm{...}*\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\prod _{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=(\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)*(\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2)*(\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+3)*\mathrm{...}*\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Hier verwirrt mich folgendes: k soll kleiner gleich n sein.

(k+1) ist der Nachfolger von k und ist somit um 1 größer als k.

Und bei ${\displaystyle \frac{1*2*3*\mathrm{...}*\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{1*2*3*\mathrm{...}*\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ kürzt sich doch alles weg ${\displaystyle \frac{1*2*3*\mathrm{...}*\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{1*2*3*\mathrm{...}*\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\frac{1}{1}=1}$.

${\displaystyle \frac{1*2*3*\mathrm{...}*(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-3)*(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2)*(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)*\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{1*2*3*\mathrm{...}*(\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-3)*(\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2)*(\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)*\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=1}$

Außer wenn man im Zähler oder im Nenner ein Glied mehr oder weniger hat.

Dann bleibt ja ein Glied stehen.

Da n größer als k sein darf, kann man ja den Nachfolger von n, (n+1) mit reinnehmen;

${\displaystyle \frac{1*2*3*\mathrm{...}*(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-3)*(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2)*(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)*\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)}{1*2*3*\mathrm{...}*(\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-3)*(\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2)*(\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)*\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)}$

Aber im Bild steht k+1 ????

Zu 3.)

${\displaystyle \frac{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}!}{(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>})!}}$

Ich stelle mir die Fakultäten immer als Intervalle vor, von 1 bis n.

Jetzt steht dort ja im Nenner, n-k, also subtrahiert man die beiden letzten Zahlen voneinander. Da n größer gleich k ist kann ich doch 2 Fälle haben.

1. Wenn n=k, dann ist n-k=0

2. Wenn n>k, dann ist n-k= eine natürliche Zahl größer Null.

Und jetzt steht dort noch (n-k+1), das ist dann der Punkt wo ich keine Ahnung mehr habe.

Also 2. und 3. ist mir schleierhaft was da vor sich geht.

Kann das jemand erklären???

zu 2.

Stellt man dann alles aus dem Nenner in den Zähler quasi;

${\displaystyle \frac{1*2*3*\mathrm{...}*\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*1*2*3*\mathrm{...}*\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{1*2*3*\mathrm{...}*\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ ???

zu 2.

Du hast da ja 2 Brüche. Und im zweiten Bruch stehen im Zähler nicht mehr nur n`s sondern auch k´s, wie kommen die k´s in den Zähler??

ok, wenn n=10 und k=5

${\displaystyle \frac{1*2*3*\mathrm{...}*10}{1*2*3*\mathrm{...}*5}}$

da kann man da ja dann auch noch kürzen und es steht dann da

${\displaystyle \frac{1*2*3*4*\mathrm{5...}*10}{1*2*3*4*5}=6*7*\mathrm{8...}*10=\frac{10!}{5!}}$

Ok, dann bin ich mit diesen Erkenntnissen doch ganz zufrieden.

Ich will mich jetzt noch etwas entspannen, da es morgen um 0600 Uhr weitergeht mit den Fakultäten. Eine Nacht drüber schlafen ist sicher gut.

Dann sage ich erst mal vielen Dank für Deine Hilfe und Gedult!!