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Rechenregeln rationalen,reellen, komplexen Zahlen

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Rechenregeln, reelle quadratische Matrizen, reellwertige Funktionen

ami17 aktiv_icon

10:34 Uhr, 27.04.2012

Hallo zusammen,

ich bin neu hier und ich weiß noch nicht so genau, wie das hier funktioniert. Aber nun zu meiner Frage:

Welche Rechenregeln gelten für das Rechnen mit rationalen, reellen oder komplexen Zahlen?

Soweit ich weiß gelten: Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetz.
Gibt es aber Ausnahmen, wenn sie bei den oben genannten Zahlenarten nicht gelten?

Welche davon gelten nicht für das Rechnen mit reellen quadratischen Matrizen?

Hier habe ich folgendes überlegt:
Die Matrizenmultiplikation/ -addition ist assoziativ.
Das Kommutativgesetz gilt nur dann, wenn die Matrix invertierbar ist.
Beim Distributivgesetz kann ich mich nicht entscheiden ob es gilt oder nicht.

Welche davon gelten nicht für das Rechnen mit reellwertigen Funktionen?
Da kenn ich mich leider überhaupt nicht mehr aus.

Es wäre sehr nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte. Eine kurze Erklärung dazu warum ein Gesetz gilt oder eben nicht wäre super!

Danke schon mal für eine Antwort
Liebe Grüße
Ami

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Rechenregeln zum Integral
Rechnen mit Logarithmen

Paulus

11:10 Uhr, 27.04.2012

Hallo am17

Das sind die Gesetzte:

Es gib 2 Operationen:

+

und

\cdot

(Addition und Multiplikation)

Dabei gilt für rationale, reelle und komplexe Zahlen geichermassen:

Assoziativgesetz der Addition:

(a + b) + c = a + (b + c)

Kommutativgesetz der Addition:

a + b = b + a

Es existiert ein Nullelement 0 mit

a + 0 = a

für alle a
Zu jedem a existiert ein inverses Element

- a

mit:

a + (- a) = 0

Assoziativgesetz der Multiplikation:

(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)

Kommutativgesetz der Multiplikation:

a \cdot b = b \cdot a

Es existiert ein Einselement 1 mit

a \cdot 1 = a

für alle a
Zu jedem a (ausser für

0)

existiert ein inverses Element

a^{- 1}

mit:

a \cdot a^{- 1} = 1

Distributivgesetz:

a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c

Wobei jeweils stillschweigend angenommen wird, dass das Multiplikationszeichen stärker bindet.

Nun musst du einfach jedes der obigen Gesetzte überprüfen, ob es auch gilt, wenn für

a, b

und

c

eine quadratische Matrix eingesetzt wird.

Zum Beispiel gilt das Kommutativgesetz der Multiplikation nicht allgemein:

A \cdot B \neq B \cdot A

Oder ein anderes Beispiel: nicht jede quadratische Matrix

A,

auch wenn sie nicht die Nullmatrix ist, besitzt eine multiplikative Inverse Matrix

A^{- 1},

so dass

A \cdot A^{- 1} = 1

ist.

1 bedeutet in diesem Zuasmmenhang natürlich die quadratische Matrix, deren Hauptdiagonale aus lauter 1 besteht, die anderen Elemente alle 0 sind.

Nun kannst du die anderen Gesetze selber noch überprüfen und uns das Ergebnis zur Kontrolle posten.

Alles klar?

Gruss

Paul

ami17 aktiv_icon

17:45 Uhr, 27.04.2012

Vielen Dank für die schnelle und ausführliche Antwort. Jetzt habe ich die ganzen Informationen aus meinem Skript in einer übersichtlichen Form.

Bei den quadratischen MAtrizen habe ich durch ausprobieren folgendes herausgefunden:

Assoziativgesetz und Kommutativgesetz der Addition ist erfüllt
es existiert ein Nullelement mit

a + 0 = a

für alle a müsste auch passen
zu jedem a existiert ein inverses Element

- a

mit

a + (- a) = 0

stimmt bei mir nicht (?)

Assoziativgesetz und Kommutativgesetz der Multiplikation ist nicht immer erfüllt (steht ja auch in der Antwort oben)
es existiert ein Nullelement mit

a \cdot 0 = a

für alle a stimmt nicht
zu jedem a existiert ein inverses Element

a - 1

mit

a \cdot (- a - 1) = 1

sollte stimmen

mit

- a - 1

meine ich die inverse Matrix von

a . .

. leide habe ich nichts gefunden wie ich die zeichen richtig eingeben kann.

beim Distributivgesetz habe ich rausbekommen dass es bei quadratischen Matrizen nicht erfüllt ist

Ich bin durch Einsetzen und Rechnen auf diese Antworten gekommen. Eine Antwort, ob es stimmt und eine Erklärung wäre hilfreich.

was ich bei funktionen machen muss, weiss ich leider nicht ?!

Paulus

18:32 Uhr, 27.04.2012

Hallo ami

du solltest aber jeweils begründen, warum das so ist.

Für Gegenbeispiele kannst du jeweils einfach eine 2x2-Matrix nehmen oder von einer solchen auf die nxn-Matrix verallgemeinern.

Zum Beispiel Kommutativgesetz der Addition:

Mit

A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix})

und

B = (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{matrix})

hast du zum Beispiel:

A + B = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}) + (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{matrix}) =

nach Definition der Matrizen-Addition

(\begin{matrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \end{matrix}) =

weil das Kommutativ im zugrunde liegenden Körper für die Matrix-Elemente gilt

(\begin{matrix} b_{11} + a_{11} & b_{12} + a_{12} \\ b_{21} + a_{21} & b_{22} + a_{22} \end{matrix}) =

nach Definition der Matrizen-Addition

B + A

somit gilt

A + B = B + A

Bei der Null-Matrix sollte man noch angeben, wie diese aussieht: Eine Matrix mit lauter Nullen als Matrix-Elemente. Die Nullen existieren ja sicher, weil die Matrix-Elemente aus einem Körper stammen. Und dann natürlich auch die Begründung:

A + 0 = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) =

nach Definition der Matrizen-Addition

(\begin{matrix} a_{11} + 0 & a_{12} + 0 \\ a_{21} + 0 & a_{22} + 0 \end{matrix}) =

wile 0 im zugrundeliegende Körper das neutrale Element der Addition ist

(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}) = A

Somit ist gezeigt:

A + 0 = A

Ein negatives Element

- A

existiert zu jeder quadratischen matrix:

Zu

A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix})

ist

- A = (\begin{matrix} - a_{11} & - a_{12} \\ - a_{21} & - a_{22} \end{matrix})

Du brauchst jetzt nur die beiden Matrizen zu addieren und findest heraus, dass die Summe tatsächlich die weiter oben gefunden 0-Matrix ist.

Bei der Addition gelten alle Gesetze.

Die Multiplikation ist assoziativ, NICHT kommutativ, ein 1-Element existiert, eine Inverse existiert nicht für jede MAtrix, die nicht ie 0-Matrix ist.

Das Distributivgesetz ist erfüllt! Das zu zeigen ist halt ein wenig Schreibarbeit, aber dazu sind die Studenten ja da ;-)

Gruss

Paul

ami17 aktiv_icon

12:00 Uhr, 01.05.2012

Vielen Dank. Das mit den Rechenregeln für Matrizen habe ich nun verstanden.

Bei den Funktionen habe ich folgendes:

für die punktweise Addition

(f + g) (m) = f (m) + g (m)

und die punktweise Skalarmultiplikation (cf)(m) = cf

(m)

gibt es noch mehr?

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