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Rechnen mit Matrizen - einige allgemeine Fragen

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Algebra, fragen, klasse, Linear, matriz, Rechnen

Shadowhunter123

15:43 Uhr, 12.03.2010

Halli hallo Leute,

in der Schule haben wir (,so zumindest der Lehrer) Matrizen behandelt. Das Rechnen und "Herumhandieren" mit Matrizen wird wohl oder übel Stoff der nächsten Matheklausur (am Montag) sein.
Da wir uns ewig lange an Vektoren aufgehalten haben (zu denen ich hier schon super Hilfe bekommen habe (;-) ans Sams)) haben wir Matrizen nur so dahingekleckst durchgenommen.

Daher habe ich einige Fragen, bei denen es Erklärungsbedarf gibt.

Was ich weiß:

\to

Wie man eine Matrix aus einem LGS (Lineares Gleichungssystem) "herausliest"/aufstellt

\to

Wie man Matrizen miteinander addiert, subtrahiert, multipliziert

\to

Wie eine Einheitsmatrix aussieht

\to

Wie eine "Diagonal"matrix aussieht

\to

Wie eine Dreiecksmatrix aussieht

\to

Wie eine transponierte Matrix aussieht
(Betonung jeweils auf aussieht)

Da hört's aber leider schon wieder auf.

Als Themen für die Klausur nannte unser Lehrer (außer den Basics die ich schon "kann") folgendes noch:

\to

Inverse Matrix

\to

Determinanten

\to

Cramer'sche Regel

\to

Gauß'sches Eliminationsverfahren

\to

Lineare Abbildungen von Matrizen

/

Matrizen als Richtungsvektoren

Mal abgesehen davon, dass ich keine Ahnung habe, was unser Lehrer damit meint, habe ich aber noch folgende Fragen, damit ich das ganze auch verstehe:
WAS ist eine Matrix überhaupt?

Okay... mit einer Matrix kann ich die Koeffizienten/Vorfaktoren von einem LGS in eine übersichtliche Form bringen. Und weiter?

\to

Wofür brauche ich eine Matrix?

\to

Was hat es für einen Effekt wenn ich Matrix A mit Matrix

B

multipliziere?

\to

Was genau ist eine Determinante von einer Matrix?

\to

Was hat die inverse Matrix in Bezug auf die "normale" Matrix für eine Bedeutung? Was genau bedeutet die Einheitsmatrix?

\to

Was genau bringt das Gaußsche Eliminationsverfahren, mal abgesehen davon, dass ich damit

x, y

und

z

eines LGS bestimmen kann?

- \to

Und vor allem: Wie wirkt sich das alles auf mein LGS aus? (Determinanten im LGS? Ein LGS mit einem anderen LGS multiplizieren? Ein inverses LGS? Noch nie gehört!)

Was habe ich mir unter einer Matrix vorzustellen? Ich bin nicht viel schlauer, als dass ich weiß, dass es sich hierbei nicht um grüne Zahlen handelt, die in meinem Heft die Caro-Kästchen runterrasseln.
Was mir fehlt ist eine anschauliche Darstellung. Ich kann mir nichts unter einer Matrix vorstellen, und ich glaube das ist das grundlegende Problem.
Und ich hoffe und bitte euch zutiefst, dass ihr schlauen Köpfe mir dabei helfen könnt, mich fit für die Klausur zu machen.

CKims aktiv_icon

20:08 Uhr, 12.03.2010

puh, ganz schoen viel auf einmal... ich probier mal zumindest ein paar sachen zu beantworten.

"WAS ist eine Matrix überhaupt?"
"Was habe ich mir unter einer Matrix vorzustellen?"

das ist erstmal nicht vielmehr als eine anordnung von zahlen in rechteckiger form. versuch nicht mehr reinzuinterpretieren als da ist ;-)

"Okay... mit einer Matrix kann ich die Koeffizienten/Vorfaktoren von einem LGS in eine übersichtliche Form bringen."

so sind die matrizen entstanden (ok wenn es um die geschichte der mathematik geht, bin ich mir nicht wirklich sicher). man wollte eigentlich nur alles schoen uebersichtlich aufschreiben, um die relevanten sachen auf den punkt zu bringen. so hat man bei grossen linearen gleichungssystemen weniger rechenfehler gemacht.

"Und weiter?"

tja, dann hat man immer mehr begriffen, dass man damit geometrische "operationen" durchfuehren kann. damit meine ich

z . B

. das rotieren von bildern um einen punkt.

"Wofür brauche ich eine Matrix?"

zusammengefasst werden also matrizen typischerweise fuer diese zwei dinge genutzt: LGS uebersichtlich aufschreiben/loesen und geometrische gebilde verzerren/rotieren/etc. wenn du diese beiden dinge weisst, kann man noch mehr machen. aber das ist ein ganz guter einstiegspunkt, wuerde ich sagen.

"Was hat es für einen Effekt wenn ich Matrix A mit Matrix

B

multipliziere?"

haengt davon ab was A und

B

machen ;-) wenn A und

B

aufgeschrieben wurden, um verschiedene LGS zu loesen, macht das wenig sinn. wenn aber

z . B

. A ein bild verzerrt und

B

ein Bild rotiert, dann bewirkt die multiplikation der matrizen, dass du eine matrix erhälst, die beides "zusammen" macht.

"Was genau ist eine Determinante von einer Matrix?"

man hat sich gefragt, wann ein LGS eindeutig loesbar ist. dadurch ist die determinante entstanden. sie "determiniert" ob ein LGS eindeutig loesbar ist. das ist sozusagen ein instrument, mit der du diese frage sehr einfach und schnell beantworten kannst. wie oben beschrieben, hat man dann immer mehr begriffen, dass man matrizen geometrisch interpretieren kann. und damit auch die determinante. kurzes stichwort: volumen eines parallelepipeds.

"Was genau bringt das Gaußsche Eliminationsverfahren, mal abgesehen davon, dass ich damit

x, y

und

z

eines LGS bestimmen kann?"

nur dazu ist es da. vorteil ist, dass du eine gewisse systematik bekommst. deshalb wenig rechenfehler. ansonsten ist es ganz gut, weil die matrix damit auf dreiecksform gebracht werden kann... da kann man dann noch ein paar dinge aus der matrix lesen.

"Und vor allem: Wie wirkt sich das alles auf mein LGS aus? (Determinanten im LGS? Ein LGS mit einem anderen LGS multiplizieren? Ein inverses LGS? Noch nie gehört!)"

haelfte von dieser frage sollte ja schon beantwortet sein. aber zur loesung von LGS sind matrizen ziemlich uninteressant. das ist nicht vielmehr als LGS schoener loesen. interessant werden matrizen erst, wenn man darueber hinaus geht (finde ich).

"Was hat die inverse Matrix in Bezug auf die "normale" Matrix für eine Bedeutung? Was genau bedeutet die Einheitsmatrix?"

wenn du multiplizierst hat die 1 eine ganz bedeutende rolle. diese rolle nimmt bei den matrizen die einheitsmatrix ein. das ist einfach eine matrix, die multipliziert mit einer anderen matrix, nichts macht. genauso wie bei den zahlen

a \cdot 1 = a

ist.

wieder bedeutende rolle ist der kehrwert einer zahl. was naemlich passiert ist, dass

\frac{1}{a} \cdot a = 1

ist. die rolle des kehrwerts nimmt bei den matrizen die inverse ein. inverse multipliziert mit matrix ergibt somit die einheitsmatrix.

mit diesen beiden instrumenten lassen sich dann ganz tolle umformungen/rechnungen/etc.. realisieren.

puh... das wars fuers erste

lg

Shadowhunter123

22:39 Uhr, 13.03.2010

Hallo!

Vielen Dank für deinen sehr aufschlussreichen Beitrag. Ich glaube der hat mir schon sehr geholfen das ganze besser zu verstehen. :-)

Und so langsam wird mir auch klar, dass ich wohl wirklich zu viel in eine Matrix hinein interpretiert habe. Ist wohl alles nicht so ganz anders, wie ich mir das bis jetzt vorgstellt habe.

Dennoch sind ein paar Fragen geblieben, denen sich vielleicht jemand noch erbarmt. ;-)

Determinanten:
Ich habe eben versucht in meinem Taschenrechner eine Matrix einzugeben. Mithilfe der Determinanten-Funktion habe ich dann entweder "Dimension Error" (bei einer

2 x 1

Matrix), einen Wert ungleich 0 (3x3-Matrix) oder einen Wert der enorm größer war als 0 (auch

3 x 3

Matrix) herausbekommen.
Was genau sagen mir jetzt die Werte?

Dreiecksmatrix:
Erhalte ich ja

z . B

. durch das Gauß'sche Eliminationsverfahren. Was kann ich damit weiter anstellen?

Abbilden einer Matrix:
Wie funktioniert das mit dem Projezieren/Abbilden einer Matrix? Funktioniert eine Matrix dann so wie eine Art Richtungsvektor?

Rotieren einer Matrix:
Wie funktioniert das?

Einheitsmatrix:
Was genau kann ich denn damit alles berechnen? Den Sinn und Zweck verstehe ich anhand von deinem Beispiel nicht so ganz.

NEPH1L1M aktiv_icon

23:08 Uhr, 13.03.2010

Auf Wiki ist dazu einiges erläutert:

http//de.wikipedia.org/wiki/Matrix_%28Mathematik%29

http//de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsches_Eliminationsverfahren

http//de.wikipedia.org/wiki/Lineares_Gleichungssystem

Vielleicht hilft dir das weiter :-)

LG NEPHI

CKims aktiv_icon

16:41 Uhr, 14.03.2010

determinanten funktionieren nur bei quadratischen matrizen.
wenn dein ergebnis ungleich null ist, so ist dein LGS eindeutig loesbar. sonst nicht.

geometrisch gibt dir die determinante eine volumen/flaechenangabe an. stell dir vor du hast ein quadrat, dessen eckpunkte du ueber vier ortsvektoren angibst. multiplizierst du diese vier vektoren mit einer matrix erhaelst du vier neue vektoren. diese vektoren zeigen erneut auf vier punkte. verbindest du diese vier punkte erhaelst du ein parallelogramm. ist der inhalt des parallelogramms 2mal so gross wie der inhalt deines quadrates, so ist die determinante 2. die determinante gibt dir also ein groessenverhaeltnis an. jetzt kann aber auch so eine determinante negativ sein. das vorzeichen sagt dir dann, ob dein quadrat bei dieser verzerrung "gespiegelt" wurde. bei einem quadrat sieht man da nicht viel. wenn du aber die bildpunkte eines Textes ueber ganz viele vektoren beschreiben wuerdest und diese dann mit einer matrix multiplizierst, die eine negative determinante besitzt, so wird der text einerseits verzerrt dargestellt und andererseits musst du den text dann noch rueckwaerts lesen, da dieser gespiegelt wurde.

Dreiecksmatrix:

erstmal kannst du damit ein LGS sofort loesen, da das ergebnis fast schon vor deiner nase liegt. den koeffizienten in der untersten zeile kannst du direkt ablesen. den eine zeile weiter oben einsetzen und den naechsten koeffizienten bestimmen und so weiter...

multiplizierst du alle werte, die auf der diagonalen der matrix stehen zusammen, so ist das direkt die determinante der matrix.

"Wie funktioniert das mit dem Projezieren/Abbilden einer Matrix? Funktioniert eine Matrix dann so wie eine Art Richtungsvektor?"

das habe ich ja oben schon beschrieben... du hast einen ganzen haufen von vektoren, die auf bildpunkte eines fotos zeigen. multiplizierst du jeden vektor mit einer matrix, erhaelst einen ganz neuen haufen von vektoren. das neue foto, dass dabei entsteht, ist dann verzerrt, gestaucht, rotiert... ( keine ahnung was du mit richtungsvektor meinst in diesem zusammenhang)

Rotieren einer Matrix:
Wie funktioniert das?

das ist einer der ersten fehler, die man so macht. man denkt die matrix rotiert oder so... es wird nicht die matrix rotiert!! es wird ein foto rotiert. du beschreibst deine bildpunkte eines fotos mit vektoren. diese vektoren multiplizierst du mit der matrix. die neuen vektoren und somit neuen bildpunkte geben dir ein rotiertes bild zurueck. die formel fuer die rotationsmatrix ist bei wiki zu finden (zu viel tipparbeit)

Einheitsmatrix:
Was genau kann ich denn damit alles berechnen? Den Sinn und Zweck verstehe ich anhand von deinem Beispiel nicht so ganz.

das ist so trivial, dass man gerne vergisst, dass man sowas unbedingt braucht. wenn du

z . B

. eine gleichung nach

x

umstellen willst

3 x = 6

rechnest du auf beiden seiten mal

\frac{1}{3}

\frac{1}{3} \cdot 3 \cdot x = \frac{1}{3} \cdot 6

hierbei nutzen wir aus, dass wir eine zahl (hier

3)

aufloesen koennen, indem wir mit dem kehrwert multiplizieren. das ergibt dann 1.

1 \cdot x = 3

jetzt steht da aber noch die 1 vor dem

x

. wir wissen aber, dass die 1 das neutrale element ist. auf deutsch, die eins macht sowieso nichts. die koennen wir einfach wegschmeissen.

x = 3

fertig. damit man solche grundlegenden rechenoperationen durchfuehren kann und somit auch einfach nur gleichungen umstellen kann, sucht man nach elementen bei den matrizen, die auch solche operationen zulassen. das ist eben die einheitsmatrix und inverse matrix... du kannst dann gleichungen mit matrizen auf diese art und weise umstellen.

Shadowhunter123

18:26 Uhr, 15.03.2010

Hallo!

Danke für eure Antworten. Ich denke der Wikipedia-Artikel und vor allem deine sehr ausführliche Beschreibung zu meinen Fragen haben mir enorm geholfen. Was ich jetzt brauche, sind nur noch ein paar Aufgaben. Aber dazu finde ich sicher welche im Internet.
Wir haben die Mathearbeit um eine Woche verschoben... ("Klassenstreik" ;-))

Das gibt mir Zeit zu lernen.

Hier nochmal zusammengefasst um zu gucken, ob ich alles richtig verstanden habe und ein paar (hoffentlich) abschließende Fragen:

Matrix

\cdot

Ortsvektor von Punkt

A :

Ich erhalte einen neuen Ortsvektor zu Punkt

B,

der ein Abbild von Punkt A durch die Matrix ist. Ich stelle mir das so vor, als funktioniert die Matrix als Richtungsvektor, die von einem Punkt einen anderen Punkt "generiert". Kann man sich das nicht so vereinfachen?

Wenn ich beispielsweise 4 Punkte

(A, B, C, D)

einer Ebene im 3D-Raum habe, und diese 4 Punkte nacheinander mit einer Matrix (passen da alle Matrizen oder müssen das bestimmte sein?

z . B

3 x 3,

oder

2 x 2,

oder müssen die einfach nur quadratisch sein?) so erhalte ich 4 neue Punkte.
Wenn die Determinante der Matrix beispielsweise 5 ist, dann ist das Volumen des erzeugten Körpers

5 x

so groß wie die Fläche, die die 4 Punkte

(A, B, C, D)

auf der Ebene abstecken.
Wenn ich beispielsweise bei dieser Matrix eine negative Determinante herausbekomme, zählt dann der Betrag der Determinante? Also ist das Vorzeichen praktisch egal, der Betrag der Determinante ist multipliziert mit der Grundfläche das Volumen meines erzeugten Körpers?

Dreiecksmatrix:
Okay, das habe ich verstanden. Die Diagonale runter multipliziert entspricht meiner Determinante.

Inverse Matrix:
Die Inverse zu einer Matrix A bestimme ich dadurch, dass ich die Einheitsmatrix durch die Matrix A teile. Muss ich da noch mehr zu wissen?
Mein Taschenrechner kann Matrizen gar nicht teilen. Wenn ich 2 Matrizen einspeichere und versuche zu dividieren, dann erhalte ich einen "Math Error".
Wenn ich allerdings (Matrix

A)^{- 1}

schreibe, dann müsste er mir ja auch die Inverse Matrix berechnen.
Tut er auch... habe ich eben mal probiert, denn (Matrix

A) \cdot

(Matrix

A)^{- 1}

ergibt wieder die Einheitsmatrix.
Was mich stutzig macht, ist, dass er mir aber anscheinend nicht von jeder Matrix die Inverse auf diesem Weg berechnet.
Beispielsweise bei folgender 3x3-Matrix:

(123)

{(456)}^{- 1}

(789)

erhalte ich einen "Math Error". Gibt es Matrizen, zu denen es KEINE inversen gibt?

CKims aktiv_icon

21:16 Uhr, 15.03.2010

"Ich erhalte einen neuen Ortsvektor zu Punkt

B,

z . B

. beim rotieren eines fotos fuer jeden punkt einen anderen richtungsvektor benoetigen wuerdest, der gerade diesen einen punkt zu seiner neuen stelle fuehrt. das sind unter umstaenden unendlich viele "richtungsvektoren". mit der matrix dagegen hast du nur die paar zahlen in rechteckiger anordnung.

(passen da alle Matrizen oder müssen das bestimmte sein?

z . B

3 x 3,

oder

2 x 2,

oder müssen die einfach nur quadratisch sein?)

nein es passen nicht alle matrizen. klar wird das, wenn du die matrixmultiplikation durchfuehrst. da musst du ja zeile mal spalte rechnen. wenn da irgendwo ein wert fehlt, weil eine matrix zu klein ist, dann ist die matrixmultiplikation verboten. deshalb zeigt dein taschenrechner error an. wenn du also die matrizen

A \cdot B

berechnest muss A genauso viele spalten haben, wie

B

zeilen.

"Wenn ich beispielsweise bei dieser Matrix eine negative Determinante herausbekomme, zählt dann der Betrag der Determinante?"

richtig.

"Also ist das Vorzeichen praktisch egal, der Betrag der Determinante ist multipliziert mit der Grundfläche das Volumen meines erzeugten Körpers?"

richtig. das vorzeichen gibt dir lediglich an, ob da noch eine spiegelung stattgefunden hat.

"Die Inverse zu einer Matrix A bestimme ich dadurch, dass ich die Einheitsmatrix durch die Matrix A teile. Muss ich da noch mehr zu wissen?"

falsch. die division von matrizen ist nicht definiert. du bekommst auch nicht die inverse durch die division heraus. wie man eine inverse berechnet, ist ein hartes stueck arbeit. es wuerde mich wundern, wenn du sowas schon in der schule lernen musst. wissen solltest du nur, dass

A \cdot A^{- 1}

die einheitsmatrix ergibt. das hoch minus 1 bedeutet NICHT wie bei den potenzen einfach den kehrwert zu nehmen. das ist eher symbolisch gemeint und bedeutet einfach nur die inverse zu bilden (von der du noch nicht weisst wie man diese bildet).

"Wenn ich allerdings (Matrix

A) - 1

schreibe, dann müsste er mir ja auch die Inverse Matrix berechnen.
Tut er auch... habe ich eben mal probiert, denn (Matrix A)⋅ (Matrix

A) - 1

ergibt wieder die Einheitsmatrix."

dein taschenrechner versteht anscheinend schon das hoch minus 1. er weiss, dass die inverse und nicht der kehrwert gemeint ist.

"Was mich stutzig macht, ist, dass er mir aber anscheinend nicht von jeder Matrix die Inverse auf diesem Weg berechnet."

wenn du ein bild deiner freundin mit einer matrix stauchst, wird deine freundin immer duenner auf dem foto dargestellt. wenn du die inverse matrix auf das gestauchte foto anwendest kommt wieder das originalbild raus. wenn du das foto aber so weit stauchst, dass deine freundin nur noch eine linie ist, kannst du das bild nicht wieder zurueckstauchen. dafuer gibt es keine mathematische operation, da solch eine linie auch von einem gestauchten bild deiner familie entstammen koennte und keine mathematische operation kann "hellsehen" woher solch eine linie stammt.

fazit:
man kann nicht von allen matrizen eine inverse berechnen. da ihr bestimmt noch nicht lernen muesst, wie man die inverse einer matrix bildet, koennt ihr das auch noch nicht wissen. aber du weisst ja jetzt wann solch eine linie entsteht, naemlich wenn die determinante einer matrix null ist. denn wenn die determinante einer matrix null ist, wird aus einem abgesteckten quadrat eine linie. das weisst du, weil die flaeche, die von den ergebnispunkten abgesteckt wird, ja null werden muss.

also existiert keine inverse einer matrix, wenn seine determinante null ist.
kannst ja spasseshalber die determinante deiner beispielmatrix berechnen ;-)

ich hoffe du bekommst so langsam eine idee dafuer, was man alles aus matrizen "herausholen" kann, wenn man die geometrisch verstanden hat ;-) ich glaub vom verstaendnis hast bereits mehr mitgenommen als man in der schule so brauch. fuer die klausuren brauchst du noch rechenroutine. also ueben ueben ;-) wenn das sitzt, muss man sich nur noch von den fotos loesen von denen ich die ganze zeit geredet habe, also abstrakter werden. dann kann man das auf alles moegliche anwenden und ist nicht nur auf die bildverarbeitung beschraenkt...

lg

Shadowhunter123

14:42 Uhr, 16.03.2010

Danke für die Hilfe MokLok!
Ja, ich glaube so langsam komme ich in das Geschehen rein. Und das ganze mit dem Spiegeln erleichtert schon eine Menge, wenn man denn eine Matrix hat. So kommen wir auch gleich zur Hausaufgabe:

Heute hatten wir Mathe, leider hat unser Mathelehrer bei der Hausaufgabe ein bisschen voraus gegriffen, und praktisch gesagt "Ja, macht mal" ohne das wir wissen, wie man es macht.

Wenn ich das richtig verstanden habe, haben wir einen Punkt in einem 3-dimensionalen Raum.
Dieser Punkt soll an einer Ebene (ebenso in dem Raum, aber der Punkt liegt nicht auf der Ebene) gespiegelt werden.
Ich soll jetzt eine Matrix aufstellen, die diese Operation durchführt.

Ich gebe absichtlich keine Werte an, da ich von euch nicht die Hausaufgaben gerechnet bekommen, sondern wissen will, wie man eine solche Matrix aufstellt. ;-)
Vielleicht kann mir das noch jemand erklären.
Im Übrigen auch vielen Dank von meinen Klassenkameraden, die euch auch schon gelobt haben. ;-)

CKims aktiv_icon

17:32 Uhr, 16.03.2010

hey,

der thread wird allmaehlich ganz schoen lang... vielleicht solltest du diese aufgabe in einem neuen thread stellen... dann gibt es bestimmt noch weitere leute, die sich deiner aufgaben annehmen ;-)

ganz allgemein ist das meist mit viel rechenarbeit verbunden...

wenn du die aufgabe konkret stellst, laesst sich vielleicht eine vereinfachung finden...

ein allgemeiner trick jedoch ist die einheitsvektoren

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

an der ebene zu spiegeln (so wie du das ohne matrizen tun wuerdest). die drei ergebnisvektoren stellen dann die spalten deiner spiegelmatrix dar. einleuchten tut dieser vorgang, wenn du dann mal die fertige matrize mit den einheitsvektoren multiplizierst. dann "greifst" du naemlich immer eine spalte der matrize ab, naemlich denjenigen spaltenvektor, der ja auch rauskommen soll. (hoffe das war einigermassen verstaendlich)

lg

Shadowhunter123

12:22 Uhr, 17.03.2010

Hallo nochmal,

also um ehrlich zu sein habe ich die von dir beschriebene Variante mit den Einheitsvektoren nicht verstanden.

Vermutlich ist es doch besser, wenn ich die Aufgabe mal stelle:

"Die Sonnenstrahlen (aus vorheriger Teilaufgabe) projizieren ein Schattenbild eines Hauses auf eine Felswand. Die Felswand wird durch die Ebenengleichung

E : 6 x + 8 y + z = 0

beschrieben.
Die Projektionsmatrix A lautet:

A = \frac{1}{54} (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ - 42 & - 2 & - 7 \\ - 24 & - 32 & 50 \end{matrix})

Beschreibe das Vorgehen zur Bestimmung der Matrix. Bestimme anschließend durch eine Rechnung die Matrixelemente

a_{11}, a_{12},

a_13."

So hat uns unser Lehrer das diktiert. Es geht also darum, die Matrix irgendwie herzuleiten bzw. aufzustellen. Jedoch habe ich keinen Plan wie. ;-)

OmegaPirat

13:49 Uhr, 17.03.2010

Du musst zeigen, dass die Punkte nach der Transformation in der Ebene

E

liegen.
dazu nimmst du am besten einen beliebigen Punkt

(x, y, z)

und bestimmst A so, dass dieser beliebige Punkt nach der Transformation immer auf

E

liegt.

Also du multiplizierst die matrix A mit dem Vektor

(x, y, z)

. Dann erhälst du einen neuen Vektor und dieser Vektor soll in der Ebene liegen.

Edit:
Zur Kontrolle hab ich das mal berechnet.
ich erhalte

a_{11} = 60; a_{12} = 8

und

a_{13} = 1

Shadowhunter123

14:18 Uhr, 17.03.2010

Aber dort steht doch "Beschreibe dein Vorgehen zur Bestimmung der Matrix".
Muss ich nicht erklären, wie diese Matrix zustande kommt? Wie kann man das erklären?

OmegaPirat

14:53 Uhr, 17.03.2010

Ja da beschreibst du einfach den Weg wie du beim Lösen dieser Matrix vorgegangen bist.

Hast du die Matrix denn bereits berechnet oder tauchen da noch Probleme auf?
Und das grundsätzliche Vorgehen habe ich ja bereits grob geschildert. Ich weiß jetzt nur nicht inwieweit dir das Vorgehen noch unklar ist.

Shadowhunter123

15:05 Uhr, 17.03.2010

Ja das Vorgehen habe ich verstanden. Ich nehme einen Punkt P. Durch Multiplikation mit der Matrix A erhalte ich dann einen Punkt

P'

. Dann muss ich nur noch nachweisen, dass

P'

auf der Ebene liegt. Dadurch kann ich die fehlenden Parameter

(a_{11}, a_{12}, a_{13})

berechnen.

Aber die Projektionsmatrix ist nicht gegeben.
Jetzt weiß ich nicht ob du mich falsch verstanden hast, oder ob ich den Begriff der Matrix falsch deute. Matrix ist für mich dieser Klammerausdruck mit dem Faktor davor. Dieser ist gegeben

(!),

ich habe dort nichts berechnet.
Allerdings habe ich aufgrund der Fragestellung das Gefühl, dass ich beschreiben soll, wie ich diese Matrix berechnen kann. Als müsste ich sie mir selbst komplett herleiten sozusagen(, nicht nur das

a_{11}, a_{12}, a_{13}

der Matrix, sondern alle Zeilen und Spalten komplett). Und wie das geht, weiß ich eben nicht.

OmegaPirat

15:35 Uhr, 17.03.2010

Also ich habe die Aufgabe jetzt so verstanden, dass du

a_{11}, a_{12}

und

a_{13}

berechnen und dein Vorgehen dabei dokumentieren sollst.

Wenn du jetzt aber von einer vollständig unbestimmten Matrix ausgehst, dann ersetzt du in der matrix erstmal die Zahleneinträge durch Unbekannte, also

A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix})

Dann hat man neun Unbekannte. Drei Bedingungen kann man schonmal daraus ableiten, dass der neue Vektor in der Ebene liegen soll. Es fehlen noch 6 Bedingungen. Dazu müsste man genauere Informationen zum Problem haben. Dir sollte ja leicht klar sein, dass die Art der Projektion zum Beispiel vom Sonnenstand abhängt. Wenn die Sonne tiefer steht ist der Schatten woanders als wenn sie höher steht. Die genaue Lage des Hauses spielt dabei auch eine Rolle. Die weiteren 6 Bedingungen müssten durch solche zusätzlichen Parameter festgelegt werden.
Im Allgemeinen sind also die gegebenen Angaben ungenügend zur Lösung des Problems. Parameter wie der Sonnenstand stecken indirekt in den vorgegebenen 6 Zahlen bereits drin, weshalb ich mir nicht vorstellen kann, dass der Lehrer meint, dass du die komplette Matrix selbst herleiten sollst, sondern lediglich die Matrix berechnen sollst indem du die drei nicht gegebenen Einträge berechnest.
Man könnte höchstens noch als Bedingung fordern, dass jeder Projektionsoperator idempotent sein sollte, aber ich glaube das hattet ihr nicht, ich weiß im Moment auch nicht ob das viel weiterhelfen würde, weil ich das jetzt nicht nachgerechnet habe.

Shadowhunter123

15:52 Uhr, 17.03.2010

Alles klar, dankeschön für eure Hilfe!

Dann werde ich das mal so hinnehmen und mir ein paar Übungsaufgaben schnappen, um das zu routinieren.

Vielleicht habe ich die Aufgabe mit dem Bestimmen von der Matrix nur falsch verstanden.
In vorherigen Aufgaben in der Schule wurden wir aber darauf hingwiesen, dass der Sonnenstand "der selbe" ist... vielleicht gilt das auch für diese Teilaufgabe. Die Koordinaten der Punkte von dem Haus haben wir ebenfalls alle schon. Ließe sich mithilfe dieser Angaben die Matrix erstellen?

OmegaPirat

18:29 Uhr, 17.03.2010

Wenn du daten zum sonnenstand und zur lage des hauses gegeben hast, könnte man daraus auf die projektionsmatrix schließen. Dazu müsstest du am besten alle Daten angeben, die ihr dazu maximal gegeben habt.

Shadowhunter123

18:56 Uhr, 17.03.2010

Alles klar, hier die Koordinaten der Punkte:

Grundfläche des Hauses:

A (8 | (0 | - 2)

B (8 | 8 | - 2)

C (0 | 8 | 0)

D (0 | 0 | 0)

Übergang zwischen Dach und Hausquader:

E (8 | 0 | 4)

F (8 | 8 | 4)

G (0 | 8 | 4)

H (0 | 0 | 4)

Dachspitzen:
I

(0 | 4 | 8)

K (8 | 4 | 8)

Und hier noch der Richtungsvektor der Sonnenstrahlen:

v = (\begin{matrix} - 1 \\ 3 \\ - 3 \end{matrix})

Im Prinzip ist das alles, was wir fest gegeben haben.
Einen festen Punkt von wo aus die Sonne strahlt ist nicht gegeben. Wird der benötigt um die Matrix aufzustellen?

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