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Rechnen mit Primzahlen (Fp)

Universität / Fachhochschule

Determinanten

Tags: Determinanten, Invertierbarkeit, Primzahl, teilerfremd

LaElW aktiv_icon

12:56 Uhr, 30.08.2012

Hallo,

also ich sitze momentan an einer Aufgabe (siehe Anhang). Habe auch die Lösungen dazu, aber habe doch ein paar Verständnisprobleme.

zu Aufgabe

a :

1)

. eine ganz blöde Frage: Wie lese ich Fp richtig? Körper über p?

2 .)

Ich verstehe wie man die Determinante berechnet und mit überlegen komme ich auch drauf, dass A invertierbar ist für

p \neq 2

. Allerdings ist mir die Begründung nicht ganz klar. (Also das

p = 2

in Fp

= 0

ist, ist mir klar).

p \neq 2

ist die einzige Ausnahme, weil

- 4

p

teilerfremd ist, das ist der Knackpunkt, oder? Aber wie sehe ich die Teilerfremdheit? Ich dachte man müsste dafür die Zahlen in Primfaktoren zerlegen, aber das geht ja weder bei einer Primzahl noch bei einer negativen Zahl. Gibt es also noch einen anderen Weg? Und eigentlich ist in der Lösung nicht bewiesen, dass die anderen Primzahlen nicht teilerfremd sind zu

- 4,

oder?

zu Aufgabe

b :

3.)Hier hapert es wieder an der Begründung. Ist

2^{- 1} = \frac{p + 1}{2}

eine bekannte Formel?

Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

Liebe Grüße
Laura

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Teilbarkeit natürlicher Zahlen

hagman aktiv_icon

15:00 Uhr, 30.08.2012

1 .)

"Der(!) Körper mit

p

Elementen" - ich verwende den bestimmten Artikel, weil es bis auf kanonische Isomorphie zu jedem

p

nur einen gibt. "Körper über p" macht entweder keinen SInn oder bedeutet etwas anderes und ist dann nich eindeutig.

2 .)

Wenn sich in

ℤ

gerechnet

det A = - 4

ergibt, so ergibt sich in

F_{p}

nur dann

0,

wenn dort

- 4 = 0

ist.
Das Vorzeichen spielt keine Rolle, denn

- 4 = 0 \Leftrightarrow 0 = 4

.
Eine Zahl ist im übrigen genau dann teietfremd zu einer Primzahl

p,

wenn sie kein ganzes Vielfaches ist. Schon dadurch fällt

p \geq 5

aus.

3 .)

Die Formel braucht nicht bekannt zu sein.
Erstens benötgt man meist nur die Existenz eines

a \in F_{p}

mit

2 \cdot a = 1,

und das gibt es - wegen Körper - stets (außer natürlich wenn

2 = 0);

zweitens prüft man unmittelbar nach, dass

2 \cdot \frac{p + 1}{2} = p + 1 = 1

LaElW aktiv_icon

23:07 Uhr, 30.08.2012

Vielen Dank erst mal!

1 + 2)

sind nun klar.

3)

ist mir leider noch nicht ganz klar (vlt. fehlt mir im Moment aber auch irgendwie das richtige Wissen),

a)

also ich benötige nur die Existenz eines

a \in F_{p}

mit 2*a´=1, weil ich das Inverse von 2 suche und wenn a*a´=E_n gilt, gibt es ein Inverses, oder?

b)

warum ist

p + 1 = 1

? falls die Erklärung dazu zu weit führen würde, kann die Frage auch gerne offen gelassen werden :-)

LG
Laura

hagman aktiv_icon

23:12 Uhr, 30.08.2012

F_{p}

gilt

p = 0

oder vielleicht ist dir

\bar{p} = \bar{0}

oder

p \equiv 0 (mod p)

lieber. Da ich zumindest für 0 und

1

in jedem Körper dieselben Symbole verwende, neige ich allerdings dazu, auch sonst keine Querstriche

o

.ä. zu verwenden. Und in

F_{p}

(von der Konstruktion her also von mir aus eine Menge von Restklassen

ℤ / p ℤ)

handelt es sich durchaus um eine echte Gleichheit und nicht nur Kongruenz (wie in

ℤ)

LaElW aktiv_icon

15:42 Uhr, 01.09.2012

Okay vielen vielen Dank! Ich glaube jetzt habe ich es verstanden!

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