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Rechtecke in einem Rechteck verteilen

Schüler

Tags: Verteilung

nigum aktiv_icon

15:42 Uhr, 06.10.2010

Hallo,

seit Stunden versuche ich folgende Aufgabenstellung zu lösen:

Gegeben:
großes Rechteck mit einem festen Seitenverhältnis

(z . B

2000 x 1000)

kleines Rechteck mit einem anderen Seitenverhältnis

(z . B

300 x 400)

Anzahl:

200

Gesucht wird nun die Anzahl der Zeilen / Spalten wenn man Rechtecke mit dem Seitenverhältnis des kleinen Rechtecks (die Größe ist nicht fix - lediglich das Verhältnis) in dem großen anordnen möchte.

Ansatz war das große Verhältnis durch das kleine zu teilen; leider klappt es nicht (immer). In Beispielrechnungen bekommt man schonmal das richtige Ergebnis; Aber nicht immer...

Kann mir jemand dabei helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

hagman aktiv_icon

16:50 Uhr, 06.10.2010

Du möchtest also in einem Rechteck

2000 \times 1000

insgesamt

200

Rechtecke mit Seitenverhältnis

3 : 4

unterbringen. Die Größe der kleinen Rechtecke ist egal, aber soll vermutlich bei allen

200

Rechtecken gleich sein?

Wenn wir das große Rechteck so strecken, dass die kleinen Rechtecke zu Quadraten würden, haben wir es leichter.
Aus

2000 \times 1000

wird dann beispielsweise

2000 \times 750

.
Wenn hierein genau

n

Reihen von Quadraten passen, dann ist die Spaltenzahl

m = \frac{2000}{750} \cdot n

.
Gesucht ist

n

mit

n \cdot \frac{2000}{750} \cdot n = 200,

also

n = \sqrt{200 \cdot \frac{750}{2000}} = 8,66025 . .

.
und dann

m = \frac{2000}{750} \cdot n = \sqrt{200 \cdot \frac{2000}{750}} = 23,094 . .

.

Bei kriummen

n

und

m

kann man stattdessen natürlich nur

8 \cdot 23 = 184

Rechtecke unterbringen.
Man hat jetzt zwei Korrekturmöglichkeiten:

a)

Erhöhe

n

auf 9. Dann

m = \frac{2000}{750} \cdot n = 24

(exakt). Es passen dann sogar

216

Rechtecke

b)

Erhöhe

m

auf

24

. In diesem Beispiel kommt dasselbe heraus wie bei

a),

weil da zufällig exakt

24

herauskam. Im Allgemeinen kann aber ein anderes Ergebnis herauskommen und du hast dann die Wahl zwischen beiden varianten (und wirst vermutlich die bevorzugen, die die gewünschte Anzahl möglichst wenig üebrschreitet.

Fazit:
Wenn die kleinen Rechtecke die Breite

\frac{2000}{24} = \frac{250}{3}

und entsprechend die Höhe

\frac{4}{3} \cdot \frac{250}{3} = \frac{1000}{9}

haben, passen genau 9 Reihen

a 24

Spalten in das große Rechteck.

Allgemeines Verfahren:
Großes Rechteck habe Maße

a \times b,

Seitenverhältnis der kleinen sei c:-D), gewünschte Anzahl sei N.
Bestimme

n = \sqrt{N \cdot \frac{b c}{a d}}

und

m = \sqrt{N \cdot \frac{a d}{b c}}

Runde

n

auf zu

n',

bestimme

\frac{a d}{b c} \cdot n'

und runde ab zu

m'

. Falls

n' \cdot m' \geq N,

hast du eine Lösung: Höhe der kleinen Rechtecke ist

\frac{b}{n'}

Ebenso anders herum: Runde

m

auf zu

m'',

bestimme

\frac{b c}{a d} \cdot m''

und runde ab zu

n''

. Fall

n'' \cdot m'' \geq N,

hast du eine Lösung: Breite der kleinen Rechtecke ist

\frac{a}{m''}

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