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Rechteckt mit Skalarprodukt beweisen

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Vektorräume

Tags: Vektorraum

ahnungslos123 aktiv_icon

14:04 Uhr, 18.03.2014

Hallo,
bei dieser Frage bin ich einfach überfordert, habe noch nicht einmal einen Ansatz.
"Beweisen Sie mit Hilfe des Skalarproduktes, dass ein Parallelogramm, in welchem die Diagonalen gleich lang sind, ein Rechteckt ist."
Wenn man sich das bildlich vorstellt ist das natürlich offensichtlich. Aber selbst wenn ich ein Parallelogramm zeichne, das gleichlange Diagonalen hat, habe ich ja keine Eckpunkte als Vektoren. Sonst könnte man damit ja einfach das Skalarprodukt bilden.
Hiiiilfe
(und danke im vorraus!)

funke_61 aktiv_icon

14:19 Uhr, 18.03.2014

Hallo,
entweder googeln oder Du machst erstmal eine Skizze eines allgemeinen Paralellogrammes...

Dann überlege, wie Du die beiden Diagonalen des Paralellogramms zB. aus der Summe von Vektoren, welche die Paralellogrammseiten darstellen, ausdrücken kannst.
;-)

Bummerang

14:27 Uhr, 18.03.2014

Hallo,

ich benutze mal für das Skalarprodukt die spitzen Klammern.

In einem Parallelogramm mit den Seiten

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} = - \vec{a}

und

\vec{d} = - \vec{b}

sind die beiden Diagonalen darstellbar als

\vec{e} = \vec{a} + \vec{b}

und

\vec{f} = - \vec{b} + \vec{a} = \vec{a} - \vec{b}

Die Länge der Diagonalen wird dann gern mit der Norm errechnet, die zum Skalarprodukt passt.

D . h

| | \vec{x} | | = \sqrt{< \vec{x}; \vec{x} >}

Da bei gleicher Länge gilt, dass auch das Quadrat der Länge gleich ist, verzichten wir für den Vergleich auf die Wurzel.

Quadrat der Länge für

\vec{e} :

{| | \vec{e} | |}^{2}

= < \vec{e}; \vec{e} >

= < \vec{a} + \vec{b}; \vec{a} + \vec{b} >;

Anwendung der Rechengesetze mit Skalarprodukten

= < \vec{a}; \vec{a} + \vec{b} > + < \vec{b}; \vec{a} + \vec{b} >

= < \vec{a}; \vec{a} > + < \vec{a}; \vec{b} > + < \vec{b}; \vec{a} > + < \vec{b}; \vec{b} >

= < \vec{a}; \vec{a} > + < \vec{a}; \vec{b} > + < \vec{a}; \vec{b} > + < \vec{b}; \vec{b} >

= < \vec{a}; \vec{a} > + < \vec{b}; \vec{b} > + 2 \cdot < \vec{a}; \vec{b} >

Jetzt das Ganze für

\vec{f} :

{| | \vec{f} | |}^{2}

= < \vec{f}; \vec{f} >

= < \vec{a} - \vec{b}; \vec{a} - \vec{b} >;

Anwendung der Rechengesetze mit Skalarprodukten

= < \vec{a}; \vec{a} - \vec{b} > - < \vec{b}; \vec{a} - \vec{b} >

= < \vec{a}; \vec{a} > - < \vec{a}; \vec{b} > - < \vec{b}; \vec{a} > + < \vec{b}; \vec{b} >

= < \vec{a}; \vec{a} > - < \vec{a}; \vec{b} > - < \vec{a}; \vec{b} > + < \vec{b}; \vec{b} >

= < \vec{a}; \vec{a} > + < \vec{b}; \vec{b} > - 2 \cdot < \vec{a}; \vec{b} >

Wenn nun wie vorgegeben aber beide Längen gleich sein sollen, dann muss gelten:

| | \vec{e} | | = | | \vec{f} | |

{| | \vec{e} | |}^{2} = {| | \vec{f} | |}^{2}

< \vec{a}; \vec{a} > + < \vec{b}; \vec{b} > + 2 \cdot < \vec{a}; \vec{b} > = < \vec{a}; \vec{a} > + < \vec{b}; \vec{b} > - 2 \cdot < \vec{a}; \vec{b} >

2 \cdot < \vec{a}; \vec{b} > = - 2 \cdot < \vec{a}; \vec{b} >

4 \cdot < \vec{a}; \vec{b} > = 0

< \vec{a}; \vec{b} > = 0

Und das wiederum bedeutet, dass

\vec{a}

und

\vec{b}

orthogonal sind und ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel ist ein Rechteck!

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