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Rechtwinklige Durchdringung zweier gleicher Rohre

Universität / Fachhochschule

Tags: Bohrloch, Deckel, Rohr

Holzblaeser aktiv_icon

13:23 Uhr, 04.03.2024

Gegeben sei ein Rohr mit Bohrlöchern, so wie wir es kennen bei Holzblasinstrumenten.

Beobachtung:

Lege ich auf die Bohrloch-Öffnung ein zweites, gleichartiges Rohr so, daß beide Rohre, von oben gesehen, ein Kreuz bilden, dann wird das Bohrloch des ersten Rohres durch das rechtwinklig aufliegende zweite Rohr exakt geschlossen. Anscheinend gilt das unabhängig von der Größe des Bohrloches.

Zweck:

Schneide ich aus dem zweiten (abdeckenden) Rohr ein sattelförmiges Stück heraus, welches in Aufsicht etwas größer ist als das Bohrloch, so erhalte ich einen Deckel, den ich zum Teil eines Verschluß-Mechanismus

(z . B

. einer öffnenden oder schließenden Klappe) machen kann.

Frage:

Trifft dieser Zusammenhang immer zu,

d . h

. unabhängig von der Größe des Bohrloches?

Falls ja, wie läßt sich das geometrisch beweisen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

14:56 Uhr, 04.03.2024

> dann wird das Bohrloch des ersten Rohres durch das rechtwinklig aufliegende zweite Rohr exakt geschlossen.

Das muss eine optische Täuschung deinerseits sein:

Stanzt man aus man den horizontal liegenden Zylinder

y^{2} + z^{2} = R^{2}

vom Radius

R

vertikal einen Zylinder

x^{2} + y^{2} = r^{2}

aus (von mir aus auch "bohren"), so ergibt sich in Blickrichtung

y

-Achse

z^{2} - x^{2} = R^{2} - r^{2}

für die Schnittlinie, das ist eine Hyperbel und damit kein Kreis

x^{2} + {(z - z_{0})}^{2} = r^{2}

, wie es deine Behauptung nahelegt. Von "exaktem Schließen" kann also nicht die Rede sein. :(

Ganz deutlich wird es im Extremfall

r = R

: Das Bohrloch erscheint dann in Blickrichtung

y

-Achse als ausgestanztes gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck...

Holzblaeser aktiv_icon

15:47 Uhr, 04.03.2024

Danke für die schnelle Antwort.

Allerdings habe ich als Nicht-Mathematiker Probleme mit der Bedeutung und Zuordnung der Buchstaben in deinen Formeln.

Könntest du eine Zeichnung machen, aus welcher die Bedeutung der Buchstaben hervorgeht? Welche

z . B

. ist die y-Achse bezogen auf das liegende Rohr? Was ist der Unterschied zwischen

r

und R?

Übrigens habe ich die Sache gerade nochmal experimentell untersucht, und zwar mit den Rohrstücken wie in der ersten Abbildung gezeigt. Die Sichtprüfung ergab völlige Dichtheit. Auch die von mir nach diesem Prinzip hergestellten Klarinetten halten völlig dicht, sogar ohne die üblichen Klappenpolster, allerdings mit einer dünnen Moosgummischicht zur Geräuschdämpfung. Vielleicht ist sie es, die eine tatsächliche - aber nicht sichtbare - Undichtheit maskiert.

Ich würde der Sache nun gerne wirklich auf den Grund gehen. Meine Unkenntnis der mathematischen Formelsprache ist da sicher ein Hindernis, aber vielleicht könnten wir dem gemeinsam beikommen.

Randolph Esser aktiv_icon

16:07 Uhr, 04.03.2024

Sei

F

ein Rohr ( die "Flöte") mit Durchmesser

r

und

B

ein weiteres Rohr (der "Bohrer") mit Durchmesser

l \leq r,

welches

F

orthogonal schneidet (also "durchbohrt").

Dann kann man die Oberflächen von

F

und

B

parametrisieren durch

F : [0,2 π) \times R \to R^{3}, (\begin{matrix} a \\ z \end{matrix}) \mapsto (\begin{matrix} r cos (a) \\ r sin (a) \\ z \end{matrix}),

B : [0,2 π) \times R \to R^{3}, (\begin{matrix} b \\ y \end{matrix}) \mapsto (\begin{matrix} l cos (b) \\ y \\ l sin (b) \end{matrix})

(wobei

B

dann idealisiert glatt, also ohne die Bohrzüge ist).

Nach einer kurzen Rechnung,

a = a r c c o s (\frac{l cos (b)}{r}),

(\begin{matrix} l cos (b) \\ r sin (a r c c o s (\frac{l cos (b)}{r})) \\ l sin (b) \end{matrix}) = (\begin{matrix} l cos (b) \\ r \sqrt{1 - {(\frac{l cos (b)}{r})}^{2}} \\ l sin (b) \end{matrix}) = (\begin{matrix} l cos (b) \\ \sqrt{r^{2} - {(l cos (b))}^{2}} \\ l sin (b) \end{matrix}),

kann man die Kurven

L_{o} : [0, 2 π) \to R^{3}, b \mapsto (\begin{matrix} l cos (b) \\ \sqrt{r^{2} - {(l cos (b))}^{2}} \\ l sin (b) \end{matrix}),

L_{u} : [0, 2 π) \to R^{3}, b \mapsto (\begin{matrix} l cos (b) \\ - \sqrt{r^{2} - {(l cos (b))}^{2}} \\ l sin (b) \end{matrix})

für das von

B

verursachte obere bzw. untere Loch in

F

(ich denke, es reicht ein oberes) angeben

(vielleicht kann das ja noch jemand schön plotten für

z . B

l = 5, r = 7,

oder so).

Dass

L_{o}

nun im

y, z -

Schnitt eine Mulde in

F

formt,

die das Profil von

B

passgenau aufnimmt,

sodass "F und

B

ein Kreuz bilden" und

B

das Loch genau schließt,

stimmt aber leider nicht,

wie der Graph von

\sqrt{r^{2} - {(l cos (a r c s i n (\frac{1}{l} x)))}^{2}}

(das ist die y-Koordinate von

L_{o}

parametrisiert nach der z-Koordinate von

L_{o})

offenbart.

Im Anhang Bilder für

r = 7

und

l = 5,6,7

.

Für

r = l = 7

ist es am deutlichsten.

Die Mulde ist dann eine Kimme, also ein Dreieck.

HAL9000

16:10 Uhr, 04.03.2024

> Könntest du eine Zeichnung machen

Wenn nicht mal du eine machst? Nein.

Ist eigentlich nicht so schwer sich das vorzustellen, wenn du zumindest die Kreisgleichung in der Ebene kennst:

y^{2} + z^{2} = R^{2}

beschreibt ein unendlich langes kreiszylindrisches Rohr mit Radius

R

, dessen Achse mit der

x

-Achse übereinstimmt.

x^{2} + y^{2} = r^{2}

beschreibt den Rand des Bohrlochs: Ebenfalls ein unendlich langes kreiszylindrisches Rohr, diesmal mit Radius

r

und als Achse die vertikale

z

-Achse.

Die Menge aller (x,y,z), die beide Gleichungen erfüllen, beschreiben die beiden Kurven (oben und unten am angebohrten Rohr) im Raum, welche das Bohrloch auf dem Rohr hinterlässt.

Der Rest ist rein algebraisch: Subtraktion ergibt eben jenes

z^{2} - x^{2} = R^{2} - r^{2}

, und das ist nun mal eine Hyperbel in der xz-Ebene, und bei Draufsicht auf das Bohrloch in y-Richtung sieht man ein Stück dieser Hyperbel. Und da kann man sich drehen und winden, aus diesem Hyperbelstück wird kein Kreisbogen wie er es aber sein müsste, wenn ein aufgelegtes Rohrstück (egal welchen Radius das hat) in

y

-Richtung dort "oben" draufgelegt wird.

Von allen draufgelegten Rohren

x^{2} + {(z - z_{0})}^{2} = {\tilde{r}}^{2}

"passt" noch am besten jenes mit

\tilde{r} = \sqrt{R^{2} - r^{2}}

sowie

z_{0} = 2 \tilde{r}

: Das hat wenigstens im Auflagepunkt den richtigen Krümmungsradius, so dass es dort lokal so gut passt, wie es eben geht. Im Fall

r ≪ R

ist das dann optisch kaum von der eigentlichen Hyperbel zu unterscheiden.

Holzblaeser aktiv_icon

17:02 Uhr, 04.03.2024

Gut, dann danke ich den Teilnehmern aufrichtig für ihre schnelle Hilfe.

Nachbemerkung:

Wenn ich vor Beginn meiner Arbeiten um das Ergebnis gewußt hätte, dann hätte ich diese Arbeiten mit Sicherheit gar nicht erst ausgeführt. Insofern war es ein Glücksfall, daß ich erst hinterher um eine mathematische Bestätigung ersucht habe. Diese fiel nun wider mein Erwarten negativ aus. Bei genauem Hinsehen auf die Rohre erkenne ich nun tatsächlich, daß das Bohrloch nicht exakt geschlossen wird. Praktisch scheint das aber - bei Verwendung einer dünnen Dichtfolie - keine Rolle zu spielen, denn die praktische Lösung, welche auf einer falschen Annahme beruhte, hat sich gleichwohl bestens bewährt.

Daher mein Resümé in Umkehrung eines bekannten Satzes: Was in der Theorie als falsch bewiesen wird, kann in der Praxis durchaus zum erhofften Ergebnis führen. - Oder noch krasser: Erst machen, dann denken!

Randolph Esser aktiv_icon

17:27 Uhr, 04.03.2024

Der Vollständigkeit halber beweise ich noch kurz formal,

dass die besagte Mulde (Seitenansicht der Bohrung, siehe ersten Beitrag)

M : [- l, l] \to R, x \mapsto \sqrt{r^{2} - {(l cos (a r c s i n (\frac{1}{l} x)))}^{2}}

keine (halb)kreisrunde Mulde mit Radius

l

ist.

Wegen

M (- l) = M (l) = r

müsste dann nämlich

M (\frac{l}{\sqrt{2}}) = r - \frac{l}{\sqrt{2}}

gelten.

Es gilt aber

M (\frac{l}{\sqrt{2}}) = \sqrt{r^{2} - \frac{l^{2}}{2}} > r - \frac{l}{\sqrt{2}}

für alle

l \leq r

.

Also ist der Graph von

M

kein Halbkreis mit Radius

l

.

Es ist aber

z . B

. möglich, die Bohrung mit einer kreisrunden Feile mit Radius

l

seitlich nachzufeilen

(oder das Loch direkt so herzustellen).

HAL9000

22:11 Uhr, 04.03.2024

Eine etwas überkomplizierte Formeldarstellung der Hyperbel - einfacher ist

M (x) = \sqrt{r^{2} - l^{2} + x^{2}}

Randolph Esser aktiv_icon

22:36 Uhr, 04.03.2024

Ja, Danke, ist alles konstruiert und fehlt noch das nachfeilen, hier:

M (x) = \sqrt{r^{2} - {(l cos (a r c s i n (\frac{1}{l} x)))}^{2}}

= \sqrt{r^{2} - {(l \sqrt{1 - {(\frac{x}{l})}^{2}})}^{2}}

= \sqrt{r^{2} - l^{2} (1 - {(\frac{x}{l})}^{2})}

= \sqrt{r^{2} - l^{2} + x^{2}}

für alle

x \in [- l, l]

Holzblaeser aktiv_icon

22:50 Uhr, 04.03.2024

Danke wiederum für die weiteren Beiträge. Ich versuche das Problem zunächst einmal praktisch anzugehen und möchte meine Aufarbeitung der mathematischen Erläuterungen (die für mich schwierig, aber gleichwohl interessant sind) noch etwas aufschieben.

Was den Vorschlag zum Nacharbeiten mit der Rundfeile (besser Halbrundfeile) betrifft: Ist prinzipiell möglich, hat sich hier aber als unnötig erwiesen.

Habe ich richtig verstanden, daß, je kleiner das Bohrloch gemacht wird, es auf die beschriebene Weise am weitestgehenden - aber niemals völlig - abgedichtet werden kann; und daß ein extrem großes Bohrloch zu einem aus seitlicher Sicht dreieckigen Ausschnitt führt?

Das von mir verwendete Rohr hat einen Außen-Ø von

18

mm bei einer Wandstärke von 1 mm, somit einen Innen-Ø von

16

mm. Die Löcher sind mit einem

12

mm-Bohrer gemacht. Daß die Deckel nicht ohne Weiteres abdichten, habe ich inzwischen gemerkt, aber mit dem obligatorischen Moosgummibelag von 1 mm Stärke dichten sie praktisch perfekt. Für mich war das eine überraschende Entdeckung. Mir ist nicht bekannt, daß dies im Instrumentenbau schon mal zur Anwendung gekommen wäre. (Diese Erklärung nur der Anschauung halber.)

Randolph Esser aktiv_icon

23:04 Uhr, 04.03.2024

Mit geeigneten Mitteln könnte man aus der Geschichte

eine schöne 3D-Animation machen.

Ja, aber man könnte es vielleicht so formulieren:

Um so größer

l,

desto tiefer und v-förmiger wird die Mulde M.

Sie bleibt aber immer kleiner als ein Halbkreis mit Radius

l

bzw. befindet sich innerhalb von diesem

(einzig im Extremfall

l = r

touchiert die untere Spitze der Kimme diesen Halbkreis),

weswegen ich die Idee mit dem Nachfeilen erwähnt habe.

Anbei noch ein Graph von

M

mit

r = 9, l = 6

.

Vielleicht erkennst Du da Dein Werkstück ja wieder...

Obwohl, wohl leider eher nicht,

denn Wolfram Alpha hat die Marotte,

die Achsen unterschiedlich zu skalieren.

Aber einem geschenkten Gaul schaut man nicht ins Maul...

Da mich aber nun doch mal der unverzerrte optische Eindruck interessiert,

hab ich es auch nochmal grob handgezeichnet.

Es sieht wirklich einladend rund aus,

sodass Deine Vermutung zunächst durchaus nachvollziehbar ist !

Holzblaeser aktiv_icon

01:43 Uhr, 05.03.2024

Vielen Dank für deine ausführlichen Erklärungen!

Um einen Eindruck zu gewinnen von der technischen Verwirklichung, siehe hier:
http//klarinettenkunst.de/Rundrohr.html

Ich werde ein paar Tage (oder länger) brauchen, um mir deine/eure Berechnungen gründlich vorzunehmen und verstehen zu lernen.

Roman-22

01:44 Uhr, 05.03.2024

HAL9000 hat ja

i . W

. schon alles geschrieben.
Auf den ersten Blick sieht das ja wirklich passgenau aus (Bild

1)

Auch in der Seitenansicht (Bild

2)

hat man noch einen guten Eindruck, obwohl wie schon gesagt wurde, in dieser Ansicht eine der Kurven ein Kreissegment ist (blau) und die andere ein Segment einer Hyperbel (rot). Daher kann man sie nicht wirklich zur Deckung bringen.
Versucht man dennoch diese nun zur Deckung zu bringen, kann man mit etwas gutem Willen Lücken klaffen sehen (Bild

3)

.
An vier Stellen sitzen die beiden Kurven aufeinander auf, dazwischen Klaffen Lücken.
Die Lücke beträgt allerdings bei deinem Maßen an der weitesten Stelle nicht einmal zwei Zehntel Millimeter (genau:

(6 \sqrt{7} - 3 \sqrt{5} - 9) m m \approx 166,3 μ m)

.
Kein Wunder also, dass es dir genau passend vorkam und mit der Dichtfolie behoben werden konnte. Der Moosgummibelag kann sicher Unebenheiten von

0,2 m m

locker ausgleichen.

Theoretisch ganz genau wird es, wenn du das Loch mit einen

18

mm Fräser (quasi der in meiner Zeichnung blau eingetragenen Zylinder) herstellst. Aber vermutlich wird man da wieder fertigungstechnisch auf andere Schwierigkeiten stoßen.

Danke auch für den Link zur 'Klarinettenkunst'. Ist schon interessant, wie viel Geometrie da drin steckt. Nicht nur, was die Deckel anlangt, sondern auch zB die Kinematik mit den Gelenkvierecken zur Parallelführung. Da macht man sich als Laie ja keine Vorstellung davon, wie kompliziert und präzise das im Grunde alles ist.

Holzblaeser aktiv_icon

13:47 Uhr, 05.03.2024

Im Nachhinein mein Dank auch für die Zeichnung sowie für die grafische Darstellung, was sicher auch mit Arbeitsaufwand verbunden war. Demnach ist meine Praxis oder Intuition doch der Theorie einigermaßen nahegekommen, und ich darf insoweit beruhigt sein. Ich finde es immer wieder erfreulich, wenn etwas von verschiedenen Seiten her beleuchtet und behandelt wird.

Holzblaeser aktiv_icon

13:47 Uhr, 05.03.2024

Randolph Esser aktiv_icon

14:43 Uhr, 05.03.2024

Noch eine Faustformel für den Radius

d

des Rohres,

aus dem man den Deckel wohl am besten machen sollte,

solange

l

nicht zu groß ist

(r, l

wie zuvor eingeführt):

d = r

.

Also derselbe Radius wie der des Flötenrohrs !

Herleitung mit Pythagoras und

M (0) = \sqrt{r^{2} - l^{2}} :

{(d - (r - \sqrt{r^{2} - l^{2}}))}^{2} + l^{2} = d^{2}

\Leftrightarrow {(d - r + \sqrt{r^{2} - l^{2}})}^{2} + l^{2} = d^{2}

\Leftrightarrow d^{2} + r^{2} + r^{2} - l^{2} - 2 d r + 2 d \sqrt{r^{2} - l^{2}} - 2 r \sqrt{r^{2} - l^{2}} + l^{2} = d^{2}

\Leftrightarrow 2 r^{2} - 2 d r + 2 d \sqrt{r^{2} - l^{2}} - 2 r \sqrt{r^{2} - l^{2}} = 0

\Leftrightarrow d \sqrt{r^{2} - l^{2}} - d r = r \sqrt{r^{2} - l^{2}} - r^{2}

\Leftrightarrow d (\sqrt{r^{2} - l^{2}} - r) = r (\sqrt{r^{2} - l^{2}} - r)

\Leftrightarrow d = r

.

( Das von mir zuvor vorgeschlagene und von Dir verworfene Nachfeilen

sollte dann natürlich mit einer Rundfeile mit Radius

r

und nicht

mit Radius

l

erfolgen. )

Dieser Beitrag gehört semantisch eigentlich direkt hinter meinen

ersten und macht meinen zweiten Beitrag hier überflüssig.

Ich hab den ganzen Thread hier auch ein wenig modifiziert zusammengeschnitten.

Die jpg-Datei hat aber

3,5

MB und kann hier nicht angehängt werden,

nur ein verwaschener Screenshot zum Schnuppern...

HAL9000

16:11 Uhr, 06.03.2024

Kommt immer drauf an, was man mit dem Auflagerohr optimieren will:

Bei Rohrradius

r

und Bohrlochradius

l

passt für die tiefste Stelle der Bohrmulde am besten ein Auflagerohr mit dem Radius

\tilde{r} = \sqrt{r^{2} - l^{2}}

, da dies exakt dem Krümmungsradius der Hyperbel an jenem tiefsten Punkt entspricht.

Wählt man den Radius größer als

\tilde{r}

, also z.B.

r

selbst, dann berührt das Auflagerohr diese tiefste Stelle nicht - höchstens mit Gewalt (Anpressdruck) und dann folgender Verformung der Bohrmulde.

Einen Radius kleiner

\tilde{r}

zu wählen macht aber gleich gar keinen Sinn, da "sitzt" das aufliegende Rohr nicht richtig, d.h. droht seitlich zu wackeln.

Randolph Esser aktiv_icon

16:27 Uhr, 06.03.2024

Mein Gedanke:

Wenn der Graph von

M

und ein Kreisbogen kongruent wären (also wenn der Graph von

M

ein Kreisbogen wäre),

dann wären der Kreisbogen und der Graph von

M

auch in den drei Punkten

(\begin{matrix} - l \\ M (- l) = r \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ M (0) = \sqrt{r^{2} - l^{2}} \end{matrix}), (\begin{matrix} l \\ M (l) = r \end{matrix})

kongruent,

womit ich ganz banal per Pythagoras auf

d = r

komme

(oben hat sich mittlerweile auch eine Skizze dazu eingefunden).

Eben nur eine Faustformel.

Dem Rest würde ich dann mit Moosgummi (ich mag das Wort)

und einer magischen Elbenrundfeile Radius

r

beikommen...

So würde ich dann auch den Beweis ansetzen, dass der Graph von

M

kein Kreisbogen ist:

Wenn es einer wäre, wäre es einer eines Kreises mit Radius

r

wegen besagter drei Punkte. Nun noch eine vierte Stelle finden

(bzw. einen Winkel), an dem es garantiert nicht passt und der Beweis steht.

Mach ich eventuell noch später...

Holzblaeser aktiv_icon

16:51 Uhr, 06.03.2024

>

"Noch eine Faustformel für den Radius

d

des Rohres, aus dem man den Deckel wohl am besten machen sollte, solange

l

nicht zu groß ist

(r, l

wie zuvor eingeführt):

d = r

. Also derselbe Radius wie der des Flötenrohrs!"

Intuitiv habe ich diese gute Faustformel von Anfang an eingehalten. (Oder war es doch mehr zufällig, weil ich gerade keine Stücke von Rohren anderer Dicke zur Hand hatte?) Es ist ein Kompromiß zwischen Berührung des Deckels nur an der Talsohle, oder nur an beiden Seiten (wie eingeklemmt).

Ideal wäre natürlich die Erzeugung der Mulde mit einem 18-mm-Fräser, wie schon erwähnt wurde. Aber dazu bräuchte es Werkzeugmaschinen einer Größe, die mir als Hobbyschlosser nicht zur Verfügung stehen. Ebenfalls konnte das Loch (Ø

12

mm) schon aus rein praktischen Gründen nicht noch größer gemacht werden. Im Nachhinein erweist sich das doch wieder als "passend". Überhaupt besteht praktische Arbeit sehr häufig aus Versuchen und Kompromissen. Das Ideal der Genauigkeit, hier: Paßgenauigkeit, wird auch sonst nie wirklich erreicht, was anscheinend aber auch nicht nötig ist.

Randolph Esser aktiv_icon

18:46 Uhr, 11.03.2024

Hier nun noch ein Beweis, dass

M

kein Kreisbogen ist.

Ich führe ihn mithilfe der Krümmung

K_{M}

von

M

und doch nicht,

indem ich wie oben angekündigt eine nicht-kongruente Stelle angebe

(die Rechnungen erwiesen sich als zu haarig).

Mit

M (x) = {(r^{2} - l^{2} + x^{2})}^{\frac{1}{2}},

M' (x) = \frac{x}{{(r^{2} - l^{2} + x^{2})}^{\frac{1}{2}}},

M'' (x) = \frac{1}{{(r^{2} - l^{2} + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(r^{2} - l^{2} + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} = \frac{r^{2} - l^{2}}{{(r^{2} - l^{2} + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}

für alle

x \in [- l, l]

und mit

0 < l < r

(der Fall

r = l

ist trivial) folgt

K_{M} (x) = \frac{M'' (x)}{{(1 + M' {(x)}^{2})}^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{r^{2} - l^{2}}{{(r^{2} - l^{2} + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}}{{(1 + {(\frac{x}{{(r^{2} - l^{2} + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{r^{2} - l^{2}}{{(r^{2} - l^{2} + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}}{{(1 + \frac{x^{2}}{r^{2} - l^{2} + x^{2}})}^{\frac{3}{2}}}

= \frac{\frac{r^{2} - l^{2}}{{(r^{2} - l^{2} + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}}{{(\frac{r^{2} - l^{2} + 2 x^{2}}{r^{2} - l^{2} + x^{2}})}^{\frac{3}{2}}} = \frac{r^{2} - l^{2}}{{(r^{2} - l^{2} + 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}

für alle

x \in [- l, l]

K_{M}

ist nicht konstant wegen

K_{M} (x_{1}) = K_{M} (x_{2})

\Leftrightarrow \frac{r^{2} - l^{2}}{{(r^{2} - l^{2} + 2 x_{1}^{2})}^{\frac{3}{2}}} = \frac{r^{2} - l^{2}}{{(r^{2} - l^{2} + 2 x_{2}^{2})}^{\frac{3}{2}}}

\Leftrightarrow r^{2} - l^{2} + 2 x_{1}^{2} = r^{2} - l^{2} + 2 x_{2}^{2} \Leftrightarrow x_{1}^{2} = x_{2}^{2} \Leftrightarrow | x_{1} | = | x_{2} |

für alle

x_{1}, x_{2} \in [- l, l]

.

Also ist

M

kein Kreisbogen.

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