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Reduktionsformel für 1/(ax^2 +b)^n

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

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09:34 Uhr, 30.07.2018

Hallo ,
Laut Integralrechner.de wird der Integraltyp 1/(ax^2

+ b)^{n}

auf folgende Weise berechnet :
Es kommt eine sogenannte Reduktionsformel vor : 1/(ax^2

+ b)^{n} = \frac{2 n - 3}{2 b \cdot (n - 1)} \cdot

integral von 1/(ax^2

+ b)^{n - 1} +

x/(2b(n-1)*(ax^2+

b)^{n - 1}

Kann mir jemand sagen was das is. Das kenne ich überhaupt nicht
Danke voraus

abakus

10:24 Uhr, 30.07.2018

Das klingt nach partieller Integration.

Roman-22

11:42 Uhr, 30.07.2018

>

Kann mir jemand sagen was das is.
Was ist deine Frage?
Ist die unklar, was eine Reduktionsformel ist und wie man sie in einem konkreten Fall anwendet, oder möchtest du wissen, wie man diese spezielle Formel herleitet?
Die Formulierung deiner Frage lässt ja ersteres vermuten.
Vielleicht hilft dir da
en.wikipedia.org/wiki/Integration_by_reduction_formulae
beim Verständnis.
Ein paar interessante Betrachtungen zu deinem Integral findet man auch hier
www.quora.com/How-do-you-solve-the-integral-of-1-ax-2-b-n
Leider aber nicht die Herleitung dieser Reduktionsformel.

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13:27 Uhr, 30.07.2018

Hallo ,
Dnke für eure antworten . jetzt ist mir vereits einiges klar. Ichglaube , nun , dass das eine Rekursionsformel ist , die von der partiellen Inttegration kommt. Ich würde aber gerne noch die Herleitubg erfahren

Roman-22

13:45 Uhr, 30.07.2018

OK, das Wesen einer Integral-Reduktionsformel und ihre Anwenung ist dir also klar geworden. Du kannst dir ja auch im Integralrechner zB

\int \frac{d x}{{(4 x^{2} + 9)}^{3}}

schrittweise berechnen lassen und der Integralrechner erklärt dir dann, wie er durch zweimalige Anwendung der Formel auf ein Grundintegral kommt, das auf den arctan führt.

Die Herleitung ist nicht schwer, aber ein wenig kniffelig:

I_{n} = \int \frac{1}{{(a x^{2} + b)}^{n}} d x = \int 1 \cdot \frac{1}{{(a x^{2} + b)}^{n}} d x = \frac{x}{{(a x^{2} + b)}^{n}} + 2 n \cdot \int \frac{a x^{2}}{{(a x^{2} + b)}^{n + 1}} d x = (⋆)

Da wurde nun partiell integriert mit

f = 1

und

g' = \frac{1}{{(a x^{2} + b)}^{n}}

und damit

f' = x

und

g = \frac{- n 2 a x}{{(a x^{2} + b)}^{n + 1}}

Jetzt wird der Zähler des Integranden trickreich ergänzt

(⋆) = \frac{x}{{(a x^{2} + b)}^{n}} + 2 n \cdot \int \frac{a x^{2} + b - b}{{(a x^{2} + b)}^{n + 1}} d x =

= \frac{x}{{(a x^{2} + b)}^{n}} + 2 n \cdot \int \frac{a x^{2} + b}{{(a x^{2} + b)}^{n + 1}} d x - 2 n b \cdot \int \frac{1}{{(a x^{2} + b)}^{n + 1}} d x =

= \frac{x}{{(a x^{2} + b)}^{n}} + 2 n \cdot \int \frac{1}{{(a x^{2} + b)}^{n}} d x - 2 n b \cdot \int \frac{1}{{(a x^{2} + b)}^{n + 1}} d x = \frac{x}{{(a x^{2} + b)}^{n}} + 2 n \cdot I_{n} - 2 b n \cdot I_{n + 1}

Lesen wir das von Beginn zum Ende, haben wir eine Gleichung erhalten

I_{n} = \frac{x}{{(a x^{2} + b)}^{n}} + 2 n \cdot I_{n} - 2 b n \cdot I_{n + 1}

die wir nun nach

I_{n + 1}

auflösen können:

I_{n + 1} = \frac{x}{2 b n \cdot {(a x^{2} + b)}^{n}} + \frac{2 n - 1}{2 b n} \cdot I_{n}

Und wenn wir jetzt noch

n

durch

n - 1

ersetzen (wir hätten statt dessen obige Rechnung gleich mit

I_{n - 1}

beginnen können), dann erhalten wir

I_{n} = \frac{x}{2 b (n - 1) \cdot {(a x^{2} + b)}^{n - 1}} + \frac{2 n - 3}{2 b (n - 1)} \cdot I_{n - 1}

also genau die Formel, die der Integralrechner anwendet.
Dass die Formel für

n = 1

nicht gilt, sollte sich von selbst verstehen.
Aber für

n = 1

haben wir ja ein Grundintegral vorliegen, wenn a und

b

gleiches Vorzeichen haben, bzw. können es durch PBZ auf Grundintegrale bringen, wenn die Vorzeichen von a und

b

verschieden sind.

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15:02 Uhr, 30.07.2018

Alles klar
Danke euch allen vielmals

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