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Reelle Funktionen; Extremstellen
Schüler
Tags: Reelle Funktionen
 
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Hallo, ich habe 2 Fragen zu Extremstellen bei reellen Funktionen. Ist eine Extremstelle (sowohl lokal als auch global) am Rand der Definitionsmenge möglich? Ein Bild eines Beispiels befindet sich im Anhang. In dem ersten Beispiel sind und 4 globale Extremstellen, korrekt? Aber sind sie auch lokale Extremstellen? Ein Bild eines Beispiels befindet sich im Anhang. In dem obigen Beispiel (siehe Anhang) ist eine Funktion vierten Grades abgebildet. Diese hat ein globales Minimum, korrekt? Hat sie jedoch oder 3 lokale Extremstellen (die globale Extremstelle wird hier bereits als lokale Extremstelle dazugezählt)? Mein Gedanke: Sie hat 1 lokale Extremstelle. Obwohl es so aussieht, als ob die Funktion für eine kurze Zeit auf der x-Achse liegt, tut sie das ja nicht. Folglich ist die Funktion hier streng monoton wachsend, es gibt also keine Extremstelle, oder? Anderer Gedanke: In meinem Lehrbuch steht, dass eine lokale Extremstelle wie folgt definiert ist: Es gibt ein Intervall, sodass (Extremstelle) teil des Intervalls ist und der kleinste bzw. der größte Funktionswert von auf den Intervall ist. So könnte ich jetzt doch den Intervall nicht nur um Stellen, bei denen sich das Monotonieverhalten verändert, setzen, sondern auch bei Intervalle, in denen sich das Monotonieverhalten nicht ändert. Folglich gäbe es einen kleinsten und größten Funktionswert, die entsprechenden Stellen sind dann Extremstellen laut der Definition, obwohl sich hier nicht das Monotonieverhalten ändert. (Im Unterricht sagte unser Professor immer, dass eine lokale Extremstelle die Stelle sei, bei der sich das Monotonieverhalten ändert) Vielen Dank für jede Antwort und deren Schreibers Zeit.   Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo Hier kommen wir in sehr theoretische Diskussionen. Es geht dir offensichtlich darum, abzugrenzen, was man genau als Extremum bezeichnen darf. Ich ahne, da lauern schon die Wölfe, die sich auf die oder jene Definition, das oder jenes Lehrbuch dogmatisch als allein-seeligmachend darstellen wollen. Wenn ich mein Verständnis zum Verprügeln preis geben darf: Du wirst zur Abgrenzung von Extrema nicht umhin kommen, eine sehr präzise Definition wählen und verständigen zu müssen, was du als Extremum zählen willst. Und das ist in den Grenzfällen nicht so unstrittig einheitlich. Du wirst abgrenzen müssen, ob du nur lokale oder auch globale Extrema zählen willst. Und, um bei deinem Beispiel zu bleiben, du wirst abgrenzen müssen, ob du Sattelpunkte als Extrema zählen willst. Dies letzteres ist nicht einheitlich festgelegt. Es gibt Lehrstühle, Bücher, Vereinbarungen, wonach nötige und hinreichende Bedingung eines Extemas eben das Verschwinden der Ableitung ist. Also Ableitung (existent und): Gemäß dieser Definition wäre ein Sattelpunkt ein Extremum. Es gibt andere Sachzusammenhänge, Definitionen und Absprachen, wonach ein Extremum nur als solches gezählt wird, wenn es auch ein lokales Extremum ist, also die zweite Ableitung irgendwie größer/kleiner Null ist. Gemäß dieser Definition wäre ein Sattelpunkt kein Extremum. Zusammenfassend: Wenn du also die Anzahl an Extrema zählen willst, dann musst du auch wissen, welchem Lehrer du gefallen willst, oder sehr genau wissen, definieren und erklären, welche Definition von Extremum du nutzen willst. Ich hoffe, ich habe jetzt nicht noch mehr verwirrt als geholfen... |
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Danke für die lange Antwort. Eine Frage hätte ich noch: Kann ich den Intervall, von dem ein Teil sein muss und größer bzw. kleiner ist als für alle teil des Intervalls, so definieren, wie ich will? Lokale Extremstellen sind ja (wenn man nun den Scheitelpunkt nicht dazuzählt) Stellen, an denen sich das Monotonieverhalten verändert. Wenn ich nun aber den Intervall beliebig wählte, könnte ich Extremstellen überall setzen, ich brauche nur einen beliebig kleinen Intervall, damit der kleinste bzw. größte Funktionswert ist. Oder wird hier die Epsilon-Umgebung verwendet, wobei bzw. die Extremstelle sind muss? |
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die normale Definition von lokalen Extrema bei ist, es gibt eine Umgebung, in der alle Werte kleiner sind, dann spricht man von lokalem Maximum. Alle Werte in der Umgebung größer von einem lokalen Minimum. Randmaxima und Minima, werden meist auch so genannt, sind sie größer als das lokale Max, ist dieses nicht global entsprechend bei Minima. Gruß lul |
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Mir gefallen beide Definitionen nicht sehr. Die von "Es gibt ein Intervall, sodass (Extremstelle) teil des Intervalls ist und der kleinste bzw. der größte Funktionswert von auf den Intervall ist." Das ist wohl nur nötige Bedingung (oder Beschreibung), sicherlich keine hinreichende. Die von heute "es gibt eine Umgebung, in der alle Werte kleiner sind..." Kleiner sind als was?? Vermutlich hätte das verständlicher heißen wollen: 'Es gibt eine Umgebung um in der alle Werte ausser an der Stelle kleiner sind, als der Funktionswert |
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ist lokale Minimumstelle von genau dann wenn es eine Umgebung von gibt mit für alle . Der Begriff macht also nur Sinn im Zusammenhang mit einer Topologie auf der Definitionsmenge . Im Falle von reicht es natürlich, sich auf Umgebungen zu beschränken. Auch wenn das etwas kurios wirkt, diese Definition hat zur Folge, dass bei einer diskreten Definitionsmenge (wie beispielsweise ) sämtliche Punkte von Definitionsbereich lokale Minimumstellen sind, schlicht weil bei klein genug gewählter Umgebung stets gilt. ;-) Es gibt noch den Begriff des isolierten lokalen Minimums, dort fordert man etwas mehr in dieser Umgebung , nämlich für alle . Beispiel sind konstante Funktionen auf ganz , wo jede reelle Zahl lokale Minimumstelle ist, es aber keine isolierten lokalen Minimumstellen gibt. Für lokale Maxima dann analog. |
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