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Reelle Lösungen der Differentialgleichungen

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Fundamentalsystem, Gewöhnliche Differentialgleichungen

TH-Michelle aktiv_icon

17:29 Uhr, 23.01.2012

Hallo,

Ich muss euch mal wieder mit einer Aufgabe belästigen.

12.2 Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der folgenden Differentialgleichungen:

a) ${y^{'}}^{'} (x) + 3 y^{'} (x) + 2 y (x) = 2$

Mein Lösungsansatz:

Da $y = y_{s} + y_{h}$ also die Lösung ergibt sich ja aus der Addition des homogenen Teils und des inhomogenen.

Homogener Teil:

${y^{'}}^{'} (x) + 3 y^{'} (x) + 2 y (x) = 0$

$λ^{2} + 3 λ + 2 = 0 \Rightarrow λ_{1, 2} = - \frac{3}{2} \pm \sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} - 2} \Rightarrow λ_{1} = - 1 u n d λ_{2} = - 2$

Inhomogener Teil:

Hier liegt mein Problem ich weiß nicht wie ich diesen bestimmen soll. In unserem Vorlesungsskript fehlt eine Beispielaufgabe und das was da steht ergibt für mich keinen Sinn. Könnte mir das jemand von euch verständlich erklären?

Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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17:41 Uhr, 23.01.2012

hier bietet sich "schlaues raten" an...

y = 1

TH-Michelle aktiv_icon

17:45 Uhr, 23.01.2012

Das versteh ich nicht...wie kommst du mit "schlauem Raten" auf y=1?

Was meinst du mit schlauem Raten?

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17:48 Uhr, 23.01.2012

mit schlauen raten meine ich, dass ich die spezielle loesung geraten habe, ohne ein bestimmtes verfahren zu verwenden... das ist das erste was man bei dgls immer versuchen sollte... wenn du

y = 1

mal einsetzt in die dgl, wirst du sehen, wie ich das erraten habe...

das standardverfahren um die spezielle loesung zu berechnen ist die "variation der konstanten"... aber das wird ein etwas laengerer rechenweg...

TH-Michelle aktiv_icon

18:03 Uhr, 23.01.2012

Achso da stimmt weil die y''=0 , y'=0 und 2*y=2 mit y=1 2*1=2 ergeben würde.

Ja stimmt schon...aber ich denke eher unser Prof will das mit variation der Konstanten haben...

Denn er verwies auf den Satz aus dem Skript:

Die inhomogene DGL $P (D) y = e^{µ x}$ hat die spezielle Lösung $\bar{y} (x) = \frac{1}{P (µ)} e^{µ x}$ .

Und genau da verstehe ich nicht was der damit meint.

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18:08 Uhr, 23.01.2012

was ist bei euch

P

und

D

??

ich nehme an das ist eine fertig formel zum berechnen der loesungen... so ne art abkuerzung zum ziel... die hab ich nicht alle parat xD

TH-Michelle aktiv_icon

18:19 Uhr, 23.01.2012

Ich nehme an P=Polynome und D=Differentialoperator, denn er beginnt mit dem Thema bei Polynome von Differentialoperatoren

BsP: $P (T) = a_{0} + a_{1} T + a_{2} T² + ... + a_{n} T^{n} \Rightarrow P (D) (f) = a_{0} + a_{1} \frac{d}{d x} f + a_{2} \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} f) + ... + a_{n} \frac{d^{n}}{{d x}^{n}} f$

CKims aktiv_icon

18:31 Uhr, 23.01.2012

so wie ich das jetzt in kuerze überblicken kann, gilt das nur fuer dgls mit einer inhomogenitaet

e^{μ x}

dann ist die spezielle loesung

\frac{1}{a + b x + c x^{2} + ...} e^{μ x}

also die inhomgenitaet geteilt durch ein polynom...

das hat mit deiner aufgabe aber nicht soviel zu tun... man kann es zwar da reinzwaengen indem man sagt dass deine dgl so lautet

y'' + 3 y' + 2 y = 2 e^{0 \cdot x}

dann ist unsere spezielle loesung

y = \frac{1}{a} e^{0 \cdot x}

also die inhomogenitaet geteilt durch ein polynom nullten grades... was einer beliebigen konstanten

c

gleich kommt...

y = \frac{1}{a} e^{0 \cdot x} = \frac{1}{a} = c

ansatz ist also

y = c

das setzen wir in die dgl ein und erhalten

c'' + 3 c' + 2 c = 2

0 + 3 \cdot 0 + 2 c = 2

2 c = 2

c = 1

also ist unsere spezielle loesung

y = c = 1 . .

. ich kann mir aber nicht vorstellen dass du diesen weg gehen solltest

TH-Michelle aktiv_icon

18:45 Uhr, 23.01.2012

wie sollte ich es denn sonst bestimmen wenn sich das Aufgabenblatt mit dem Fundamentalsystem befasst?

CKims aktiv_icon

19:11 Uhr, 23.01.2012

keine ahnung wie ihr das rechnen sollt... das fundamentalsystem hast du ja durch die homogene loesung bereits bestimmt...

wie schon gesagt ist das standardvorgehen

-schlaues raten

-wenn man das nicht hingekriegt hat dann variation der konstanten

aber gibt es auch fertig-formeln, um bestimmte typen von dgls schneller loesen zu koennen... die hab ich aber nicht alle parat.

TH-Michelle aktiv_icon

19:34 Uhr, 23.01.2012

naja nicht ganz,denn ich habe ja nur den homogenen teil gelöst und dafür setzt man ja gleich 0. Für den inhomogenen teil weiß ich ja nicht wie man vorgeht...das ist ja das problem ;) aber danke dir schonmal :)

CKims aktiv_icon

19:43 Uhr, 23.01.2012

hehe irgendwie reden wir aneinander vorbei...

fundamentalsystem = basis des loesungsraums der homogenen dgl

das fundamentalsystem hast du also bereits bestimmt...

voraussetzung zur bestimmung einer speziellen loesung der inhomogenen dgl ist das vorher bestimmte fundamentalsystem, wenn du das verfahren "variation der konstanten" anwenden willst.

aber wie schon gesagt, ich weiss nicht welches verfahren du anwenden sollst... wenn allerdings in der aufgabenstellung nicht explizit gefordert ist welches verfahren du anwenden sollst, dann reicht auch "schlaues raten".

TH-Michelle aktiv_icon

20:43 Uhr, 23.01.2012

ja könnte sein :) versteh das themengebiet eben noch nicht so und brauch hilfe ;)

Was wäre denn der Lösungsweg für das inhomogene DGL mit variation der Konstanten?

CKims aktiv_icon

11:32 Uhr, 25.01.2012

das wird ne extrem lange rechnung... (deshalb hat wohl auch kaum jemand lust das zu rechnen)

vielleicht solltest du dir das verfahren der variation der konstanten erstmal an einer dgl erster ordnung klar machen... und dann wenn du lust hast dich an dieser aufgabe probieren.

Yokozuna aktiv_icon

00:12 Uhr, 26.01.2012

Hallo,

wie MokLok bereits erwähnte, gibt es 2 Methoden, eine partikuläre Lösung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung zu finden, die Variation der Konstanten oder ein geeigneter Ansatz für die partikuläre Lösung (schlaues Raten). Insbesondere, wenn die Störfunktion nicht sehr kompliziert ist, führt die Methode mit einem geeigneten Ansatz in der Regel am schnellsten ins Ziel.
Ich will Dir hier mal die Variation der Konstanten an Deinem Beispiel zeigen. Bis heute war ich der Meinung, daß die Variation der Konstanten nur bei linearen Differentialgleichungen erster Ordnung durchführbar ist. In den Lehrbüchern, die ich besitze sind auch immer nur solche Beispiele drin. Man könnte jetzt Deine Differentialgleichung in ein System linearer inhomogener Differentialgleichungen erster Ordnung umwandeln. Darauf wäre dann die Variation der Konstanten anwendbar. Aber ich habe heute Abend ein bischen herumgebastelt und dann doch einen Weg gefunden, die Variation der Konstanten ohne vorherige Umwandlung in ein Differentialgleichungssystem erster Ordnung durchführen zu können.

Wir haben die Differentialgleichung

y'' + 3 \cdot y' + 2 \cdot y = 2

und die Lösung der homogenen Differentialgleichung

y_{h} = C_{1} \cdot e^{- x} + C_{2} \cdot e^{- 2 x}

Wir nehmen jetzt für die Variation der Konstanten eine der beiden Fundamentallösungen her (welche der beiden ist egal) und betrachten die Integrationskonstante nicht mehr als konstant, sondern als Funktion von

x,

also

y_{p} = C (x) \cdot e^{- x}

Das leiten wir jetzt zweimal ab und setzen alles in die inhomogene Differentialgleichung ein (ich lasse bei

C

die Variable

x

weg, damit ich nicht soviel schreiben muß):

y_{p}' = C' \cdot e^{- x} - C \cdot e^{- x}

y_{p}'' = C'' \cdot e^{- x} - C' \cdot e^{- x} - C' \cdot e^{- x} + C \cdot e^{- x} = C'' \cdot e^{- x} - 2 \cdot C' \cdot e^{- x} + C \cdot e^{- x} \Rightarrow

y'' + 3 \cdot y' + 2 \cdot y = (C'' \cdot e^{- x} - 2 \cdot C' \cdot e^{- x} + C \cdot e^{- x}) + 3 \cdot (C' \cdot e^{- x} - C \cdot e^{- x}) + 2 \cdot C \cdot e^{- x} =

C'' \cdot e^{- x} - 2 \cdot C' \cdot e^{- x} + C \cdot e^{- x} + 3 \cdot C' \cdot e^{- x} - 3 \cdot C \cdot e^{- x} + 2 \cdot C \cdot e^{- x} = |

zusammenfassen

e^{- x} \cdot (C'' + C') = 2

Die Terme mit

C

heben sich gegenseitig auf, da sie gerade die homogene Differentialgleichung erfüllen. Es sind nur noch Ableitungen von

C

vorhanden. Wir multiplizieren noch mit

e^{x}

und erhalten:

C'' + C' = (C' + C)' = 2 \cdot e^{x}

Die letzte Gleichung können wir einmal integrieren:

\int (C' + C)' \cdot d x = C' + C = 2 \cdot \int e^{x} \cdot d x = 2 \cdot e^{x}

Jetzt haben wir für die Funktion

C (x)

eine lineare inhomogene Differentialgleichung erster Ordnung (wir haben also das Problem um eine Ordnung reduziert).
Lösung der homogenen Differentialgleichung

C' + C = 2 \cdot e^{x} :

λ + 1 = 0 \Rightarrow λ = - 1 \Rightarrow

C_{h} = D \cdot e^{- x}

mit der Integrationskonstanten D.
Wir führen erneut die Variation der Konstanten durch, um das inhomogene Problem zu lösen.

C_{p} = D (x) \cdot e^{- x} \Rightarrow

C_{P}' = D' \cdot e^{- x} - D \cdot e^{- x}

Einsetzen in die Differentialgleichung:

C' + C = D' \cdot e^{- x} - D \cdot e^{- x} + D \cdot e^{- x} = D' \cdot e^{- x} = 2 \cdot e^{x} \Rightarrow

D' = 2 \cdot e^{2 x}

Integration liefert:

D = \int 2 \cdot e^{2 x} \cdot d x = e^{2 x}

(die Lösung ist so einfach, da brauchen wir keine Substitution)

\Rightarrow

C_{p} = D (x) \cdot e^{- x} = e^{2 x} \cdot e^{- x} = e^{x}

Die partikuläre Lösung reicht uns, also

C = C_{p} = e^{x} \Rightarrow

y_{p} = C (x) \cdot e^{- x} = e^{x} \cdot e^{- x} = 1

Damit haben wir die Gesamtlösung:

y = y_{h} + y_{p} = C_{1} \cdot e^{- x} + C_{2} \cdot e^{- 2 x} + 1

So, das kannst Du Dir jetzt mal auf der Zunge zergehen lassen.

Viele Grüße
Yokozuna

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