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Reelle Zahlen Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen
Universität / Fachhochschule
Folgen und Reihen
Tags: Folgen und Reihen reelle Zahlen Cauchyfolge Äquivalenzklasse
 
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Hallo liebe Mathe – Interessierten, ich habe mal eine Frage bzgl. der reellen Zahlen. In einer meiner Vorlesungen wurde kurz erwähnt, dass die reellen Zahlen als Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen aufgefasst werden können (wenn ich es richtig verstehe stehen zwei Folgen in Relation zueinander, genau dann wenn ihre Differenz eine Nullfolge ist). Ich finde das an sich schon schlüssig, allerdings habe ich folgenden Knoten im Kopf: Die Menge der rationalen Zahlen ist abzählbar. Ebenso ist die Anzahl der Folgeglieder, die eine Cauchy-Folge haben kann, abzählbar. Somit kann man für abzählbar viele Folgeglieder jeweils abzählbar viele Werte bekommen. Damit müsste doch die Menge aller Cauchy-Folgen als abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen wieder abzählbar sein und somit auch die Menge der Äquivalenzklassen abzählbar sein. Da aber die reellen Zahlen genau als Repräsentanten der Äquivalenzklassen definiert sind, müssten diese doch dann auch abzählbar sein. Allerdings ist die Menge der reellen Zahlen überabzählbar. Habe ich hier irgendwo einen Denkfehler? Kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen, der sich gut auskennt? Vielen Dank schon einmal im Voraus :-) Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
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Hallo da ich zu faul zum Aufschreiben bin siehe hier: de.wikipedia.org/wiki/Cantors_zweites_Diagonalargument statt Dezimalzahlen kannst du dir auch Cauchy Folgen vorstellen. oder die Dezimalzahlen als Cauchyfolgen. Gruß ledum |
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Hallo ledum, vielen Dank für den Link! Ich habe mir den Artikel nun durchgelesen und glaube es verstanden zu haben. Du meinst ja dann, dass man in dem Diagonalverfahren statt den Dezimalzahlen auch Cauchy-Folgen anordnen kann und somit eine Cauchy-Folge findet, die von allen abgezählten abweicht oder? Damit kann man ja dann zeigen, dass die Cauchy-Folgen überabzählbar sind. Stimmt das so? Liebe Grüße jandoer |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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