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Reelle Zahlenfolgen Lösung und Ansatz

Universität / Fachhochschule

Tags: Lösung und Ansatz, reelle Zahlenfolgen

Smurf007 aktiv_icon

22:48 Uhr, 18.11.2019

Die Aufgabe Laute:
Zeigen Sie:

Ist (an)n∈N eine Folge reeller Zahlen mit an ≥ 0 für alle

n

und
limn→∞ an

= a,

so ist
limn→∞ √an = √a .
Hinweis: Betrachten Sie die Fälle

a = 0

und

a > 0

getrennt.

Ich würde mich über Hilfe freuen, da ich keinen Ansatz finde :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

08:50 Uhr, 19.11.2019

Hallo,
Tipp: im Falle

a > 0

kannst du die Ungleichung

∣ \sqrt{a} - \sqrt{a_{n}} ∣ \sqrt{a} \leq ∣ \sqrt{a} - \sqrt{a_{n}} ∣ \cdot ∣ \sqrt{a} + \sqrt{a_{n}} ∣

nutzen.
Gruß ermanus

michaL aktiv_icon

08:50 Uhr, 19.11.2019

Hallo,

Konvergenz zu zeigen bedeutet die Kunst der Abschätzung zu kennen.

Du sollst ja zeigen, dass es für jedes

ε > 0

die Ungleichung

∣ \sqrt{a_{n}} - \sqrt{a} ∣ < ε

durch ein

n

(das von

ε

abhängt) gültig gemacht werden kann.

Da rate ich dir, den Term im Betrag mit

\sqrt{a_{n}} + \sqrt{a}

zu erweitern. Für

a \neq 0

wird dir das weiterhelfen.

Mfg Michael

EDIT: Oh, ermanus war schneller. Dieser post kann also ignoriert werden.

Smurf007 aktiv_icon

12:24 Uhr, 19.11.2019

Okay danke. Ich könnte dann den rechten Term mit Hilfe der 3.Bin. Formel Kürzen, aber bringt mir das was?

michaL aktiv_icon

12:37 Uhr, 19.11.2019

Hallo,

> Ich könnte dann den rechten Term mit Hilfe der 3.Bin. Formel Kürzen

Nicht kürzen sondern erweitern!

> aber bringt mir das was?

Nun, solange du es nicht ausprobierst, wird es dir sicher nichts bringen.
Ich ahne, dass du den weiteren Weg nicht sehen kannst. Daher fragst du, was dir das bringt.
Diese Herangehensweise ist schlecht. Mit der kommst du nur so weit, wie du Wege schon kennst. Etwas neues wirst du damit nicht von selbst finden. Daher schlage ich vor, die Herangehensweise zu wechseln. Mach doch mal, schau mal, ob du schon etwas "wieder erkennst". Wenn nicht, kann ich dir ja noch einen weiteren Tipp geben.

Aber: Du entscheidest.

Mfg Michael

Smurf007 aktiv_icon

13:11 Uhr, 19.11.2019

Also rechts würde dann |a-an| stehen oder?

michaL aktiv_icon

13:18 Uhr, 19.11.2019

Hallo,

korrekt. Und weil

(a_{n})_{n \in ℕ} \to a

, gibt es zu jedem

ε > 0

ein

n_{0} \in ℕ

, sodass

∣ a_{n} - a ∣ < ε

für alle

n \geq n_{0}

.

Auf diese Weise kannst du einem

n_{0}

ein

ε

zuordnen. (Es ist allerdings der Nenner zu beachten!)

Mfg Michael

Smurf007 aktiv_icon

13:31 Uhr, 19.11.2019

Ah okay danke. Ist das schon die endgültige Lösung? Weil ich ja 2 Fälle betrachten muss.

ledum aktiv_icon

12:33 Uhr, 21.11.2019

Hallo
hast du nun ein

N (ε)

? für

a \neq 0

und für

a = 0,

woher sollen wir das wissen, ohne dass du es schreibst?
Gruß lul

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