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Reeller-Körperautomorphismus => Identität Beweis

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Tags: Abbildung, Automorphismus, Identiät, Linear Abbildung, Lineare Algebra, Reelle Zahlen, Sonstig

anonymous

18:42 Uhr, 04.05.2020

Hallo! Es geht um folgende Behauptung, dessen Beweis mir in einer Videokonferenz vorgerechnet wurde. Mir ist der Beweis nicht ganz schlüssig. Selbstverständlich habe ich den Tutor gefragt, jedoch wurde es mir immernoch nicht 100%ig klar.
Behauptung:
sei

α : ℝ \to ℝ

ein Körperautomorphismus

\Rightarrow α = i d

(Identität)
Beweis:
Zunächst wurde gezeigt, dass

α

auf

ℚ

die Identität ist:
Sei

\frac{p}{q} \in ℚ \Rightarrow α (\frac{p}{q}) = α (\frac{\pm (1 + ... + 1)}{1 + ... + 1}) = \frac{α (\pm (1 + ... + 1))}{α (1 + ... + 1)} = \frac{\pm (1 + ... + 1)}{1 + ... + 1} = \frac{p}{q}

Das habe ich schonmal verstanden. Hier wurden außerdem ein paar Eigenschaften von Körperautomorphismen benutzt. Jetzt geht es um die Eigenschaft der Monotonie von

α

. Hier kommen wir auch zu dem Punkt, an dem ich den Argumentationsgang nicht mehr ganz verstehe und den Wiederspruch nicht wirklich sehe, welcher hier als Beweisstrategie dient.
Zeige:

α

ist streng monoton wachend also:

(x < y \Rightarrow α (x) < α (y)) \Leftrightarrow (y - x > 0 \Rightarrow α (y) - α (x) > 0)

\to α (y) - α (x) = α (y - x) = α ({(\sqrt{y - x})}^{2}) = α {(\sqrt{y - x})}^{2} > 0

Damit ist dann ja die oben stehende Implikation gezeigt, denn ist

x - y > 0

so können wir durch umformen einen Ausdruck finden, welcher

α

quadriert und somit positiv ist. Jetzt kommt aber etwas, bei dem mir nicht ganz klar ist was da passiert:
Zeige:

\forall x \in ℝ : α (x) = x

Annahme:

α (x) > x \Rightarrow \exists r \in ℚ

mit

x < r < α (x)

Wir wissen

r \in ℚ \Rightarrow α (r) = r

und

x < r

\Rightarrow r = α (r) < α (x)

und das soll wohl eine Wiederspruch sein...
Aber ich irgendwie wird dort in meinen Augen doch nur die Annahme die wir getätigt haben bestätigt... irgendwie sehe ich da im letzten Teil nicht so wirklich einen zusammenhang und ich würde mich freuen, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen kann... Vielen Dank und LG Max Stuthmann

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