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(Reelles) Lösungsfundementalsystem aufstellen

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Charakteristisches Polynom, Komplexe Zahlen, Loesungsfundementalsystem

magomed aktiv_icon

13:21 Uhr, 06.12.2017

Hallo,
Ich habe hier die Aufgabe:

Erstellen Sie ein Lösungsfundamentalsystem für die Differentialgleichung

y^{| | | |} + 4 y^{| | |} + 29 y^{| |} + 100 y^{|} + 100 y = 0

Hinweise: 1. Eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist

5 i

.
Hinweise: 2. Bedenken Sie, daß die nicht-reellen Nullstellen reeller Polynome in Paaren konjugiert komplexer
Hinweise: 2. Zahlen auftreten!

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}_

Dafür habe ich die Nullstellen:

x 1 = 5 i; x 2 = - 5 i; x 3 = - 2; x 4 = - 2

Jetzt wollte ich ein Lösungsfundamentalsystem erstellen:

e^{- 2 x}, x \cdot e^{- 2 x}, e^{5 x} \cdot cos (5 x), e^{5 x} \cdot sin (5 x)

und dann noch ein reelles Lösungsfundamentalsystem:

e^{5 x} \cdot cos (5 x), e^{5 x} \cdot sin (5 x)

beim rellen weiß ich nicht recht was ich schreiben soll und beim normalen Lösungsfundamentalsystem bin ich mir unsicher ob es stimmt.
Würde mich sehr freuen falls jemand da drüber schauen kann und mir sagt wie diese beiden generell auszusehen haben.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

ledum aktiv_icon

13:42 Uhr, 06.12.2017

Hallo
die

e^{5 x}

bei sin und

cos

sind falsch, das hiesse ja

λ = 5 \pm 5 i

und beim reellen System kommen die reellen

e -

Funktionen natürlich dazu
reel ist schon dein erstes System wo du ja

e^{\pm 5 i}

durch sin und

cos

schon ersetzt hast
Gruß ledum

magomed aktiv_icon

13:52 Uhr, 06.12.2017

Danke dir nochmal ledum für die erneute Hilfe :-)

Hätte noch ne kleine Frage und zwar hängt das

cos

und sin immer vom Vorzeichen ab welches ich benutze? Ich ging durch Unwissen immer davon aus dass

cos

einfach für

+

und Sinus für - Werte steht.

ledum aktiv_icon

23:22 Uhr, 06.12.2017

Hallo
das ist Quatsch (sorry) die Lösungen, die du mit

λ = \pm 5 i

bekommst sind ja

e^{5 i}

und

e^{- 5 i}

jede Linear-Kombination von Fundamentalösungen ist wieder eine . die 2 Lösungen addiert und subtrahiert mit geeigneten Faktoren , ergeben dann sin und

cos

.
wenn du e^(i*t)=cos(t)+isin(t) schreibst.
Gruß ledum

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