Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Reflexivität, Symmetrie, Transitivität nachweisen

Reflexivität, Symmetrie, Transitivität nachweisen

Universität / Fachhochschule

Relationen

Tags: Eigenschaften von Relationen, Relation.

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
MrRNG

MrRNG aktiv_icon

16:06 Uhr, 12.08.2017

Antworten
Hallo,

ich tue mich aktuell schwer damit, festzustellen, ob etwas reflexiv, symmetrisch oder transitiv ist. Ich kenne die entsprechend geltenden Defintionen :

reflexiv: R heißt reflexiv genau dann, wenn ∀x∈M:(x,x)∈R.
transitiv: R heißt transitiv genau dann, wenn ∀x,y,z∈M:(x,y)∈R∧(y,z)∈R⇒(x,z)∈R.
symmetrisch: R heißt symmetrisch genau dann, wenn ∀x,y∈M:(x,y)∈R⇒(y,x)∈R.

Nun zu meiner Aufgabe. Ich soll folgende Bedingungen auf diese 3 Eigenschaften prüfen.

a.)x~y⇔x+y ist eine ungerade ganze Zahl
reflexiv: Nein, denn 1+1=2 oder 2+2=4 oder 3+3=6
symmetrisch: Ja, denn 1+2=3 und 2+1=3
transitiv: Hier bräuchte ich Erklärung, denn ich wüsste nicht, wie ich es nachweisen könnte.
b.)x~y⇔x+y ist eine gerade ganze Zahl
reflexiv: Ja, denn 1+1=2 oder 3+3=6
symmetrisch: Ja, denn 1+1=2 oder 2+2=4
transitiv: Hilfe..
c.)x~y⇔ xy ist eine ungerade ganze Zahl
reflexiv: Nein
symmetrisch: Ja, denn 1⋅2=2 und 2⋅1=2
transitiv: Hilfe..
d.)x~y⇔x-y ist nicht negativ
reflexiv: Ja, denn 1-1=0 oder 2-2=0
symmetrisch: Nein, denn 1-2=-1 und 2-1=1
transitiv: Hilfe...
e.)x~y⇔ x+xy ist eine gerade ganze Zahl
reflexiv: Ja, denn x+x⋅x=x+x2
symmetrisch: Nein
transitiv: Hilfe..


Vielen Dank schonmal und ich hoffe man erkennt mein Problem.
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
Roman-22

Roman-22

16:51 Uhr, 12.08.2017

Antworten
a)
> transitiv: Hier bräuchte ich Erklärung, denn ich wüsste nicht, wie ich es nachweisen könnte.
Wird dir auch schwer fallen, da diese Relation nicht transitiv ist.
Es genügt ja ein Gegenbeispiel anzuführen, zB (1;2)∈R∧(2;3)∈R, aber (1;3)∉R.
Natürlich ließe sich hier sogar zeigen, dass es, wenn die Grundmenge ℤ ist, kein einziges Beispiel finden lässt, sodass (a,b),(b;c) und (a;c) Elemente der Relation sind. Schließlich muss dann doch immer eine Komponente gerade und die andere ungerade sein. Das bedeutet, dass a und c immer die gleiche Parität haben, ihre Summe daher nie ungerade sein kann. Aber das auszuführen ist gar nicht nötig - das Gegenbeispiel reicht, denn wenn Transitivität vorliegt, so muss diese Eigenschaft immer, ausnahmslos, gelten.

b)
Ähnliche Argumentation wie vorhin. Jetzt müssen beide Elemente die gleiche Parität haben und wenn (a;b)∈R und (b;c)∈R gilt, dann müssen auch a und c die gleiche Parität haben und daher ist auch (a;c)∈R. Diese Relation ist also transitiv. Jedenfalls, wenn - und das hast du vergessen anzugeben - die Elemente alle aus ℤ stammen sollen. Wenn das nicht so ist, hätten wir mit (1,8; 2,2)∈R und (2,2; 3,8)∈R ein Gegenbeispiel, denn (1,8; 3.8)∉R.

Jetzt solle c) kein Problem mehr sein und bei d) könntest du daran denken, dass man "x-y ist nicht-negativ" auch als x≥y schreiben kann und die ≥ Relation ist ja sicher leichter zu handeln.
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.