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Regeln für Bruchrechnung beweisen

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Bruchrechnung, Körper

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00:25 Uhr, 22.10.2010

Hi,

habe hier eine Aufgabe, bei der man Regeln für das Bruchrechnen zeigen soll. Jetzt bin ich mit dem Beweisen noch nicht so bewandert, würde jemand bitten, sich das anzuschauen und mir sagen, ob das so formal korrekt argumentiert ist.
Nebeninformation: Die Aufgabe ist unter der Rubrik "Körperaxiome" eingeordnet.

Also:

Man zeige: Es gelten die folgenden Regeln für das Bruchrechnen

(a, b, c, d \in ℝ, b \neq 0, d \neq 0)

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

gilt genau dann, wenn ab=cd ist
b)

\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a b \pm b c}{b d}

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a c}{b d}

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a d}{b c}, f a l l s c \neq 0

zu a)

weil es eine "genau dann, wenn"-Aussage ist, müssen wir die Hin- und Rückrichtung zeigen.

"

\Rightarrow

":

Fallunterscheidung:

1. Fall a=0

\frac{0}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow c = 0 \Rightarrow a d = b c

, da a,c=0

2. Fall

a, c \neq 0

jetzt komm ich schon irgendwie nicht weiter. Pauschal hätt ich jetzt einfach gesagt: wir multiplizieren mit d und b, aber ich weiß nicht ob man das machen kann. Und wenn ja, ist das ja irgendwie keine Übungsaufgabe zu Körpern...

Vllt. ist das aber auch so gemeint:

Es existiert ein neutrales Element 1
sowie ein inverses Element

{(\frac{c}{d})}^{- 1} = \frac{d}{c}

mit

\frac{c}{d} \cdot \frac{d}{c} = 1

(möglich, da

a, c \neq 0

)

also nochmal unsere Gleichung:

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} ∣ \cdot \frac{d}{c}

\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{c}{d} \cdot \frac{d}{c}

\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = 1

tja, was soll ich jetzt machen? Multiplikation voraussetzen? Naja, ich definier das mal und hoffe, das ist jetzt keine grobe Vereinfachung...

\cdot : ℚ \times ℚ \to ℚ, (x, y) \mapsto x \cdot y

mit

x, y \in {\frac{f}{g} ∣ f \in ℤ, g \in ℕ}

also

\cdot : ℚ \times ℚ \to ℚ, (\frac{f}{g}, \frac{h}{i}) \mapsto \frac{f h}{g i}

somit:

\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = 1

\frac{a d}{b c} = 1 ∣ \cdot b c

a d = 1 \cdot b c

Einselement ist neutrales Element, deshalb

a d = b c

Ich schätze, ich habe das viel zu umständlich gemacht. Aber irgendwie hab ich damit noch nicht so die Erfahrung, vllt. kann mir da jemand verständlich erklären, wie ich das kurz und knapp - und trotzdem formal richtig - hinschreibe.

naja, jetzt noch Rückrichtung

"

\Leftarrow

a d = b c

a \cdot d = b c

|(linksinverses zu b)

\frac{1}{b} \cdot a \cdot d = \frac{1}{b} \cdot b c

\frac{1}{b} \cdot a \cdot d = 1 \cdot c

|(rechtsinverses zu d)

\frac{a}{b} \cdot d \cdot \frac{1}{d} = c \cdot \frac{1}{d}

\frac{a}{b} \cdot 1 = \frac{c}{d}

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

q.e.d (hoffentlich ;-) )

die anderen mache ich vllt. lieber nach dem ersten Feedback, nicht dass ich hier alles falsch mache...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

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20:43 Uhr, 25.10.2010

Kann mir jemand sagen, ob ich vom Vorgehen her richtig liege?

kalli

21:04 Uhr, 25.10.2010

Hallo,
Dein Beweis sieht erst mal gut und richtig aus. Die Rückrichtung brauchst Du aber wohl nicht, da Du nur äquivalenzumformungen gemacht hast. Du hast also keine einseitige Folgerung vorgenommen (soweit ich das sehe).

Eine Rechenoperation musst Du wohl nicht definieren, da sie auf

ℝ

bereits definiert sind. Insbesondere ist das dividieren ja die Umkehrung der Multiplikation.

LG

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