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Regressionsaufgabe

Schüler

Tags: Bevölkerungswachstum

stinlein aktiv_icon

17:22 Uhr, 14.05.2021

Ich bräuchte wieder einmal eure Hilfe! Danke!
Aufgabe mit Lösung als Anhang!
Ich hätte so gerechnet:

N (53) = 3 \cdot a^{53}

7 = 3 \cdot a^{53}

Damit wäre

a =

dreiundfünfzigste Wurzel aus

\frac{7}{3} = 1,016115224

Fragen:

1)

Warum kommt bei der Lösung als Wachstumsfaktor

a = 1,0162

heraus?
Bei mir wäre ja a gerundet

a = 1,0161

Habe ich etwa falsch gerechnet oder falsch gerundet?

2)

Ich hätte als No

= 3

Milliarden eingesetzt. Bei der Lösung (siehe Lösung

a))

ist aber der Startwert mit

3,09

notiert.
Wie komme ich auf diesen Wert

3,09

?
Danke im Voraus bereits. Warte gespannt auf eure Kritik!
stinlein

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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17:30 Uhr, 14.05.2021

Hallo stinlein,

du musst ja eine Regression durchführen. Es genügt also nicht nur ein Wertepaar zu verwenden.

Gruß
pivot

stinlein aktiv_icon

17:38 Uhr, 14.05.2021

Danke für deine rasche Anwort.
Wie macht man das?
Ich habe auch eine andere Variante noch zu bieten:

1) N (15) = 3 \cdot a^{15}

4 = 3 \cdot a^{15}

a = 1,0193639

2) N (28) = 3 \cdot a^{28}

5 = 3 \cdot a^{28}

a = 1,018411206

3) N (40) = 3 \cdot a^{40}

6 = 3 \cdot a^{40}

a = 1,017479692

4) N (53) = 3 \cdot a^{53}

7 = 3 \cdot a^{53}

a = 1,016115224

Kannst du mir bitte weitere Schritte erklären?
Danke vielmals!
stinlein

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17:52 Uhr, 14.05.2021

Du siehst, dass du immer verschiedene Werte für a herausbekommst. Das ist schon mal sehr anschaulich.

Wir suchen jetzt praktisch den Wert für a der "im quadratischen Mittel" am besten die

N_{t}

-Werte reproduziert.
Das macht man am Besten mit der linearen Regression. Du hast hier nun eine Exponentialfunktion. Deshalb muss man diese erst einmal in eine lineare Funktion umwandeln.

N_{t} = N_{0} \cdot a^{t}

Auf beiden Seiten logarithmieren. Ich verwende hier den natürlichen Logarithmus.

\ln (N_{t}) = \ln (N_{0} \cdot a^{t})

\ln (N_{t}) = \ln (N_{0}) + \ln (a^{t})

\ln (N_{t}) = \ln (N_{0}) + \ln (a) \cdot t

Das ist jetzt im Prinzip eine lineare Gleichung

y_{t} = m \cdot t + b

mit

y_{t} = \ln (N_{t})

b = \ln (N_{0})

m = \ln (a)

.

Das heißt man muss als ersten Schritt alle Werte

N_{t}

\ln (N_{t})

umwandeln. Dann kann man eine lineare Regression durchführen.

stinlein aktiv_icon

18:17 Uhr, 14.05.2021

Vielen lieben Dank inzwischen. Sehr lieb von dir mir da zu helfen. Ich bin beim Überlegen. Wird ein wenig dauern.
stinlein

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18:22 Uhr, 14.05.2021

>>Ich bin beim Überlegen<<
Das finde ich super.

Schau dir vielleicht erst einmal ein kleines Beispiel für die lineare Regression an und versuche die einzelnen Rechenschritte nachzuvollziehen. Ich habe hier ein schönes kleines Bsp. bei wiki gefunden.

de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Einfachregression#Einf%C3%BChrendes_Beispiel

>>Wird ein wenig dauern.<<
Danke für den Hinweis. Ich werde dann jetzt noch etwas rausgehen.

stinlein aktiv_icon

18:43 Uhr, 14.05.2021

Lieber pivot!
Ich habe mir deine Unterlagen kurz durchgesehen, habe noch einmal mich mit der Maturantin kurz in Verbindung gesetzt,...... Sie meinte, dass sie diese Aufgabe mittels Technologie-Einsatz lösen muss. Aber sie weiß nicht mehr, wie sie hier agieren muss.
Die andere Rechenweise wäre zu aufwändig, oder?

Ich würde aber für mich trotzdem gerne erfahren, wie so etwas rechnerisch zu lösen wäre.
Leider glaube ich, dass unser Ansatz

ln (N (t)) = ln

(No)

+ t \cdot ln (a)

mit meiner Eingabe nicht richtig ist:

ln (N (15)) = ln (3) + 15 \cdot ln (a)

4 = ln (3) + 15 \cdot ln (a)

Da stehe ich jetzt auf der Leitung! Mit welchem Wert

N (t)

muss ich die erste Funktion anscheiben?
Danke!
stinlein

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21:18 Uhr, 14.05.2021

>>Die andere Rechenweise wäre zu aufwändig, oder?<<
Kommt darauf ob ihr eine lineare Regression vollständig mit dem Taschenrechner löst oder eben so wie im Link beschrieben. Das kann ich nicht sagen. Wenn mit dem Taschenrechner, dann gibt es dort eine Funktion für lineare Regression. Unabhängig davon muss man trotzdem die Umformung der

N_{t}

-Werte in

\ln (N_{t})

-Werte machen. Man erhält für die Fälle

t = 0, 15, 28, 40, 53

(

x - W e r t e

) die folgenden transformierten y-Werte.

\ln (3), \ln (4), \ln (5), \ln (6), \ln (7)

bzw.

1, 098612289 1, 386294361 1, 609437912 1, 791759469 1, 945910149

(y - W e r t e)

4 = l n (3) + 15 \cdot l n (a)

<<
Also prinzipiell der richtige Ansatz. Wir kennen aber den Parameter

b = \ln (N_{0})

noch nicht, genauso wie

\ln (a)

. Diese beiden Parameter wollen wir mittels linearer Regr. bestimmen.

Der prinzipielle Ansatz ist jetzt, dass man jeweils die Differenz aus y-Wert

(l n (N_{t})

und

m \cdot t + b

bildet und diese quadriert und dann alles summiert. Diese Summe wird dann minimiert.

Das muss jetzt hier aber erst einmal nicht interessieren, sondern man geht genauso wie im Link vor und rechnet die Parameter

m

und

b

aus, die in der linearen Regressionsfunktion

y_{t} = m \cdot t + b

vorkommen.

Wenn du einen Rechner für die lin. Regression sucht, dann versuche es mit diesem hier:
www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/regr.htm

Drücke auf Zufallsgenerator um zu sehen wie die Daten eingegeben werden müssen.
Der Term der vorher gewählt werden muss ist "Gerade".

stinlein aktiv_icon

21:57 Uhr, 14.05.2021

Das ist einfach großartig von dir, dass du mir da weiter hilfst. Danke dir vielmals für deine Geduld.
Viellelicht kannst du mir heute noch einen Tipp geben. Dann muss ich schlafen gehen. Bin heute selber nicht gut drauf, etwas überarbeitet- vielleicht.
Wie bilde ich die Differenz vom y-Wert ln(Nt)) und

m \cdot t + b

b

weiß ich ja noch nicht!
Anfang:

m \cdot t + b = ln (a) \cdot 0 + b = b

{(1,098612289 - b)}^{2}

Danke, danke! Gute Nacht!
stinlein

pivot aktiv_icon

23:37 Uhr, 14.05.2021

Wie gesagt, dieser prinzipielle Ansatz muss man nicht zwingend nachvollziehen um die Vorgehensweise zur Berechnung der Parameter durchzuführen.

Mit Differenz meinte ich

y_{t} - m \cdot t - b

beziehungsweise

\ln (N_{t}) - \ln (a) \cdot t - \ln (N_{0})

. Also die Differenz zwischen Funktionswert und der Funktion.

Die Summe der quadrierten Differenzen ist

\sum_{t = 0}^{5} (y_{t} - m \cdot t - b)^{2} = \sum_{t = 0}^{5} (\ln (N_{t}) - \ln (a) \cdot t - \ln (N_{0}))^{2}

Dieser Ausdruck wird jetzt mittels partieller Ableitung nach

m

und

b

und Nullsetzen minimiert. Es kommt dann für die Parameter m und b der Ausdruck heraus, der auch bei Wiki steht. Bei Wiki sind die x-Werte äquivalent zur den t-Werten bei dir.

\ln (a) = m = \frac{\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{6} (x_{i} - \bar{x})^{2}}

\ln (N_{0}) = b = \bar{y} - b \bar{x}

stinlein aktiv_icon

23:59 Uhr, 14.05.2021

Hallo, lieber pivot!
Das Ganze scheint doch etwas komplizierter zu sein. Meine Fortschritte sind sehr gering. Ich habe mir einmal die linke Seite herausgenommen und versucht die entsprechenden Werte einzusetzen:

1) y (t) - m \cdot t - b)

ln (3) - m \cdot 0 -

ln(No)

ln (3) - ln (3) = 0

2) y (t) - m \cdot t - b)

ln (4) - m \cdot 15 - ln (3)

ln (4) - 15 m - ln (3)

0,287682 - 15 m

3) ln (5) - m \cdot 28 - ln (3)

ln (5) - ln (3) - 28 m

0,510825624 - 28 m

4) ln (6) - m \cdot 40 - ln (3)

ln (6) - ln (3) - 40 m

0,693147181 - 40 m

5) ln (7) - 53 m - ln (3)

0,84729786 - 53 m

Jetzt die diversen Ergebnisse adddieren: Summe alle 5 Ergebnisse

= {(2,338952665 - 136 m)}^{2}

Liege ich da richtig?

Weiters habe ich überlegt:
Funktionwsert

y (t) = m \cdot t + b

y (t) - m \cdot t - b = 0

II.

ln (N (t)) - ln (a) \cdot t -

ln(No)

= 0

Welche Werte von der Tabelle muss ich in die aufgestellten Gleichung einsetzen?
Oder liege ich da schon wieder falsch?
Lieben Dank für die Erklärungen von deiner Seite.
Bei der Gleichung im Internetbeispiel geht es um eine Gerade, bei unserer Aufgabe ist die Wachstumskurve gefragt. Siehe Ergebnis

a) N (t) = 3,09 \cdot {1,016}^{t}

Die Lösung dieser Aufgabe fängt an interessant zu werden. Ich bin neugierig, wie wir auf die richtige Lösung kommen.
Ich habe einmal versucht, die Tabelle zu erstellen, bin mir aber nicht sicher, ob diese so stimmt. (im Anhang)
Mit dem Regressionsrechner kommt allerdings für yi

= 2,926925779 + 0,076215964 \cdot x

heraus!
Komme da selber einfach nicht weiter. Bitte hilf mir! Vielleicht gibt es ja noch einen anderen Helfer, der gerade online ist und der da den Überblick hat.
Alles Liebe dir (euch)inzwischen

stinlein

Enano

14:03 Uhr, 16.05.2021

Hallo,

"Sie meinte, dass sie diese Aufgabe mittels Technologie-Einsatz lösen muss."

Ja, dann würde ich das auch tun und einfach

z . B

. einen GTR benutzen oder

z . B

. diesen Online-Rechner:

de.planetcalc.com/5992/#

Der kommt auch auf die richtigen Koeffizienten.

Wenn du dem nicht glaubst, kannst du die Ergebnisse ja auch anhand der Formeln unter
"ab-Exponentialregession" kontrollieren ;-).

Gruß
Enano

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15:01 Uhr, 16.05.2021

Ganz lieben Dank, Enano!
Ich habe es gerade versucht, doch ich kam noch zu keinem Ergebnis.
Ich habe für

x

die Anzahl der Jahre und für

y

das Bevölkerumswachstum in Mill. eingegeben. Dann habe ich Exponentialregression angekickst. Kam zu keinem Ergebnis.
Werde weiter am Ball bleiben.
stinlein

Enano

15:40 Uhr, 16.05.2021

Ich habe die Werte

0, 15, 28, 40, 53

für

x

und

3, 4, 5, 6, 7

für

y

eingegeben, allerdings mit Leerzeichen, anstatt der Kommata.

Alle Schalter bis auf den mit "ab-Exponentialregession" beschrifteten, ausschalten und "Berechnen" anklicken.

Unter Präzesionsberechnung können noch die Nachkommastellen eingestellt werden.

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15:57 Uhr, 16.05.2021

Vielen Danke! Ich werde es nochmals probieren.
stinlein

Enano

16:27 Uhr, 16.05.2021

Viel Erfolg!
Ich spendiere noch zwei "r" für meine "...regessionen", bevor es ein anderer tut. ;-)

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16:37 Uhr, 16.05.2021

Lieber enano!
Endlich gelungen. Ich weiß nicht - erst beim Zwanzigsten Mal hat der Rechner funktioniert. Es wurde immer beanstandet, dass die Werte bei

x

und

y

nicht übereinstimmen. Danke vielmals für deine geopferte Zeit. Jetzt ist alles klar. DANKE, DANKE!
stinlein

Enano

17:09 Uhr, 16.05.2021

"Es wurde immer beanstandet, dass die Werte bei

x

und

y

nicht übereinstimmen."

Das passiert, wenn die Werte nicht in der richtigen Reihenfolge eingegeben werden:

z . B

. als erster x-Wert:0 und als erster y-Wert:

7,

anstatt 3.

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20:18 Uhr, 16.05.2021

Danke, lieber Enano, du warst einfach spitze. Müsste - das habe ich leider erst jetzt nach einer kleinen Pause gesehne folgendes rechnen:
Wann wird die Weltbevölkerung gemäß diesem Modell

10

Milliaren erreichen.

y = 3,093 \cdot {1,0162}^{x}

3,23310716 = {1,01162}^{x}

Bin ich da auf dem richtigen Weg?
Ergebnis:

t =

ca.

73

also im Jar

2032!

Danke im Voraus!
stinlein

Enano

21:17 Uhr, 16.05.2021

"Bin ich da auf dem richtigen Weg?"

Ja, aber das

y

ist in diesem Fall

N (t)

und das

x

ist

t

.

Bei deiner 2. Gleichung hat auf der rechten Seite die zweite 1 wohl geprellt und den Rest hast du wohl im Kopf gerechnet, um auf das Ergebnis zu kommen.;-)

Für

N (t)

die

10

Milliarden einsetzen, logarithmieren und die Formel nach

t

umstellen, ergibt:

t = \frac{ln (\frac{10}{3,09})}{ln 1,0162} \approx 73

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21:29 Uhr, 16.05.2021

Danke dir nochmals ganz herzlich. Jetzt kann ich sicher ruhiger schlafen. Die Aufgabe ist gelöst und das dank deiner

s c h n e l l e n

und

g u t e n

Hilfe.
Ich wünsche dir eine gute Nacht und weiterhin so viel Erfolg. Bitte bleibt mir gesund, das wäre das Wichstigste. DANKE! DANKE! EIMALIG!
stinlein

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