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Tags: Konvergenz

Randolph Esser aktiv_icon

22:58 Uhr, 15.11.2026

Hallo,

man untersuche

\sum_{k = 1}^{\infty} (\frac{1}{k} + \frac{{(- 1)}^{k}}{k^{2}})

auf Konvergenz.

Ich habe das vor langer Zeit schon einmal gemacht (siehe Anhang),
werde aber aus dem, was ich damals geschrieben habe, nicht schlau.
Vielleicht gelingt nun eine andere, einfachere und somit bessere Lösung...

Randolph Esser aktiv_icon

23:14 Uhr, 15.11.2026

Sorry fürs Posten, es ist ja total simpel:

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}}

ist (absolut) konvergent (gegen

\frac{π^{2}}{6},

Forster Ana1

(7.2))),

also ist auch

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k}}{k^{2}}

konvergent.

Wegen

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{n} = \infty

(Forster Ana1

(7.1)))

folgt

\sum_{k = 1}^{\infty} (\frac{1}{k} + \frac{{(- 1)}^{k}}{k^{2}}) = \infty

.

Die Zerlegung im Anhang oben geschieht übrigens nicht rechnerisch,
sondern eher haptisch durch Aufteilen in gerade und ungerade Indizes:

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k}{k^{2}} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{2 k}{{(2 k)}^{2}} + \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{2 k - 1}{{(2 k - 1)}^{2}},

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k}}{k^{2}} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{{(2 k)}^{2}} - \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{{(2 k - 1)}^{2}}

und somit

\sum_{k = 1}^{\infty} (\frac{1}{k} + \frac{{(- 1)}^{k}}{k^{2}}) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{2 k + 1}{{(2 k)}^{2}} + \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{2 k - 2}{{(2 k - 1)}^{2}}

.

Auch wenn das jetzt hier kein gutes Beispiel ist,
ist dieser Trick dennoch sehr nützlich,

z . B

. findet man damit im Handumdrehen

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{{(2 k - 1)}^{s}} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{s}} - \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{{(2 k)}^{s}} = (1 - 2^{- s}) ζ (s)

für alle

s > 1

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