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Reihe Majorantenkriterium

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Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

MathMP

21:50 Uhr, 27.10.2019

Hallo, folgende Reihe

\sum \frac{7 n + 4}{8 n^{3} + {(- 1)}^{n} \cdot n^{2} - 8}

Ich muss bei dieser Reihe Konvergenz nachweisen.
Mittels Majorantenkriterium:

{(- 1)}^{n}

verschwindet durch Betrag. Sei Betrag von an=

\frac{7 n + 4}{8 n^{3} + n^{2} - 8} \leq \frac{7 n + 4}{8 n^{3} - 8} \leq

?

und jetzt tritt mein Problem auf. Ich finde keine Folge, welche nach Majorantenkriterium weiter

\leq

ist.

Fällt jemanden etwas ein? Ich muss beim Majorantenkriterium bleiben, also jetzt nicht mit QK weitermachen.

Danke
LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

abakus

22:12 Uhr, 27.10.2019

Das (-1)^n verschwindet überhaupt nicht! Es ist ein Faktor, der abwechselnd 1 und -1 ist.

Einen positiven Bruch kannst du vergrößern, indem du den Zähler vergrößerst oder den Nenner verkleinerst oder beides gleichzeitig tust.
Der Zähler kann von 7n+4 auf 8n vergrößert werden, sobald n > 4 gilt.
Der Nenner wird auf 4n³ verkleinert (ist zumindest ab n=2 eine Verkleinerung).
Gekürzt ist der entstehende (größer gewordene) Bruch 2/n².

MathMP

22:25 Uhr, 27.10.2019

{(- 1)}^{n},

der Betrag von

{(- 1)}^{n}

ist doch 1. Oder nicht?

Danke für die Antwort.

abakus

22:30 Uhr, 27.10.2019

Scherzkeks.
Berechne (-1)*(-1).
Berechne (-1)*(-1)*(-1).
Berechne (-1)*(-1)*(-1)*(-1).
Damit erhältst du den Faktor, der zu n² multipliert wird und dafür sorgt, dass dieser Teil des Nenners abwechselnd größer und kleiner wird.
Was willst du da mit "Betrag"???

MathMP

22:41 Uhr, 27.10.2019

Wegen dem Majorantenkriterium, deshalb Betrag. (Kennzeichne Betragsstriche mit I

.)

I an I

\leq

bn

wenn an einen Faktor

{(- 1)}^{n}

besitzt wird IanI 1. Deshalb meine ich...

ledum aktiv_icon

01:19 Uhr, 28.10.2019

aber das

{(- 1)}^{n}

steht doch mitten im Ausdruck und nicht bei an?
wenn du es weglässt vergrößerst du den Nenner bei jedem 2 ten Summanden, egal ob Betrag oder nicht.
ledum

MathMP

09:34 Uhr, 28.10.2019

\sum \frac{7 n + 4}{8 n^{3} + {(- 1)}^{n} \cdot n^{2} - 8}

an=

\frac{7 n + 4}{8 n^{3} + {(- 1)}^{n} \cdot n^{2} - 8} \to I

IanI=

\frac{7 n + 4}{8 n^{3} + 1 \cdot n^{2} - 8}

Und Betrag brauch ich für Majorantenkriterium IanI

\leq

bn

Sollte doch so stimmen, nicht?

HAL9000

09:48 Uhr, 28.10.2019

Stimmt nicht. Anscheinend bist du der Auffassung, dass generell

∣ u + v ∣ \overset{?}{=} ∣ u ∣ + ∣ v ∣

gilt? Dem ist mitnichten so: Schauen wir uns in deinem Fall z.B. mal

n = 3

an:

8 n^{3} + (- 1)^{n} \cdot n^{2} - 8 = 8 \cdot 8^{3} - 8^{2} - 8 = 4024

, hingegen ist

8 n^{3} + 1 \cdot n^{2} - 8 = 8 \cdot 8^{3} + 8^{2} - 8 = 4152

.

Der Betrag beider Werte ist keineswegs gleich.

MathMP

10:16 Uhr, 28.10.2019

Hmm, was würdest du vorschlagen ? Bis jetzt ist das immer richtig gewesen, wo ich mit Betrag das gemacht habe, allerdings hatte ich bei meinen bisherigen Beispielen das

{(- 1)}^{n}

immer im Zähler. Hat das damit was zu tun?

HAL9000

11:47 Uhr, 28.10.2019

Ich schlage auch nichts weiter vor, als es abakus oben schon getan hat: Zähler vergrößern, Nenner verkleinern - aber so, dass der so entstehende Quotient für das Majorantenkriterium brauchbar ist. Zu diesem Zweck nutzt man im Nenner eben die Abschätzung

u + v \geq u - ∣ v ∣

angewandt auf

u = 8 n^{3} - 8

und

v = (- 1)^{n} n^{2}

, d.h.,

8 n^{3} + (- 1)^{n} n^{2} - 8 \geq 8 n^{3} - n^{2} - 8

und schätzt dann aber noch weiter nach unten ab, was z.B. für

n \geq 2

so geschehen kann

8 n^{3} - n^{2} - 8 \geq 8 n^{3} - n^{3} - n^{3} = 6 n^{3}

.

abakus hatte oben

\geq 4 n^{3}

genannt, ist rum wie num für das Majorantenziel.

MathMP

12:24 Uhr, 28.10.2019

Oke danke.

Wäre das dann so formal richtig? die zwei I sollen für Betrag stehen.
Diese verschwinden weil zweite Ausdruck sowieos für alle

n

element natürlicher Zahlen

> 1

positiv ist?

I

\frac{7 n + 4}{8 n^{3} + {(- 1)}^{n} \cdot n^{2} - 8} I \leq \frac{7 n + 4}{8 n^{3} - n^{2} - 8}

Schätze weiter ab:

\frac{7 n + 4}{8 n^{3} - n^{2} - 8} \leq \frac{180 n}{1 n^{3}}

\sum (\frac{180 n}{n^{3}}) = \sum \frac{180}{n^{2}} = 180 \cdot \sum \frac{1}{n^{2}}

bekannte Reihe

\sum (\frac{1}{n^{2}})

konvergiert daher konvergiert auch

180 \cdot \sum \frac{1}{n^{2}}

Weil Majorante konvergent ist

\sum \frac{7 n + 4}{8 n^{3} + {(- 1)}^{n} \cdot n^{2} - 8}

absolut konvergent.

Eine Frage noch zum Abschätzen, darf ich da wirklich rein nach Logik

180

nehmen oder auch andere Zahl zb

20000

? Das einzige was ich nicht ändern darf ist der höchste Exponent von

n

?, also

8 n^{3}

darf zu

1 n^{3}

abgeschätzt werden aber nicht zu

\frac{1}{n^{2}}

weil man sonst grundlegendes Verhalten der Reihe ändert?
Stimmt das so?

HAL9000

13:16 Uhr, 28.10.2019

Du kannst 180 nehmen, oder von mir aus auch 20000 - wichtig ist nur, dass du die zugehörige Abschätzung richtig begründet. Eine passende Majorantenabschätzung wäre es dann in jedem Fall.

MathMP

20:49 Uhr, 28.10.2019

Danke noch eine Frage zu einer anderen Abschätzung (minorante ist gesucht)

\frac{7^{n} - 2^{n}}{n \cdot 7^{n + 2} + 2^{n + 12}} \geq \frac{5^{n}}{10^{n}}

Bei Minorante muss Nenner größer und Zähler kleiner werden, was ja nicht so einfach ist, wenn im Nenner

+

gerechnet und im Zähler - gerechnet wird, weil ich es dann nicht einfach weglassen kann.

Ich hab mir folgendes zur oberen Abschätzung überlegt: Zähler

\to 7^{n} - 2^{n} = 5^{n}

also

5^{n}

ist ab

n > 1

kleiner.
Nenner:

n \cdot 7^{n + 2} + 2^{n + 12} \to

hab vorerst mal

7^{n} + 2^{n}

gerechnet und dann noch wegen dem

n

als Faktor daraus

10^{n}

gemacht. Somit ist

10^{n} > n \cdot 7^{n + 2} + 2^{n + 12}

für unendlich vile

n

wahr und für endlich viele nicht wahr. also pasts.

Was hälst du davon? Wie würdest du sowas abschätzen. Gibt es ein strukturiertes Vorgehen bei solchen Aufgaben?

Danke

HAL9000

21:02 Uhr, 28.10.2019

7^{n} - 2^{n} \geq 5^{n}

??? Ist zwar richtig, aber Hinblick auf die Suche nach einer divergenten Minorante komplett unbrauchbar: Damit hast du es nämlich bereits vergeigt, weil du so nur noch eine konvergente Minorante hinkriegst.

Passender ist wohl folgendes:

Im Zähler:

7^{n} - 2^{n} > \frac{1}{2} 7^{n}

, richtig für alle

n \geq 1

Im Nenner:

n 7^{n + 2} + 2^{n + 12} = 49 n \cdot 7^{n} + 4096 \cdot 2^{n} < 5000 n \cdot 7^{n}

, ebenfalls für alle

n \geq 1

.

Beides zusammen:

\frac{7^{n} - 2^{n}}{n 7^{n + 2} + 2^{n + 12}} > \frac{1}{10000 n}

MathMP

21:20 Uhr, 28.10.2019

Wieso hab ich es mit

5^{n}

vergeigt?

\frac{5^{n}}{10^{n}} = {(\frac{5}{10})}^{n} \to

geometrische Reihe

\to

divergiert

Im Nenner:

n \cdot 7 n + 2 + 2 \cdot n + 12 = 49 \cdot n \cdot 7 n + 4096 \cdot 2 n < 5000 n \cdot 7 n,

ebenfalls für alle n≥1.

Was sind da deine Hintergrundgedanken wie kommst du auf das? Gibt es da so eine Art strukturiertes Vorgehen?

HAL9000

21:22 Uhr, 28.10.2019

Die geometrische Reihe

\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{5}{10})}^{n}

divergiert bei dir? Auf welchem Planeten lebst du denn?

MathMP

21:33 Uhr, 28.10.2019

Ja stimmt. für

- 1 < q < 1

konvergiert sie..

Könntest du zur zweiten Frage ob es für solche Abschätzungen eine Art Struktur gibt oder soetwas ähnliches etwas schreiben? Ich kann einzelne Beispiele immer gut nachvollziehen, nur weiß ich nicht wie ich selbst an Abschätzungen rangehen soll.

HAL9000

21:36 Uhr, 28.10.2019

Das strukturierte Vorgehen besteht darin:

Dominanter Summand im Zähler ist

7^{n}

.

Dominanter Summand im Nenner ist (bis auf einen konstanten Vorfaktor)

n 7^{n}

.

Aus dem Quotienten

\frac{7^{n}}{n 7^{n}} = \frac{1}{n}

ist klar: Es gibt nicht so wahnsinnig viel zu verschenken, wenn wir auf die "gerade so" divergente Minorantenreihe

\sum_{n} \frac{1}{n}

hinarbeiten wollen! D.h. alle Abschätzungen müssen sich an diesen dominanten Summanden orientieren, d.h., sollten nur um einen konstanten Faktor von diesen Termen abweichen. Und genau diesen Plan habe ich anschließend durchgezogen.

---------------------------------------------------------------------------------

Es gibt auch einen Weg, der womöglich besser geeignet ist für Leute, die sich mit derartigen Abschätzungen schwertun: Wir formen das Reihenglied um gemäß

a_{n} = \frac{7^{n} - 2^{n}}{n \cdot 7^{n + 2} + 2^{n + 12}} = \frac{7^{n}}{n \cdot 7^{n + 2}} \cdot b_{n} = \frac{1}{49 n} \cdot b_{n}

mit

b_{n} := \frac{1 - {(\frac{2}{7})}^{n}}{1 + \frac{2^{12}}{n 7^{2}} \cdot {(\frac{2}{7})}^{n}}

.

Nun ist leicht erkennbar

lim_{n \to \infty} b_{n} = 1

, das bedeutet: Für alle

ɛ > 0

gibt es ein

n_{0}

, so dass für alle

n \geq n_{0}

die Ungleichung

∣ b_{n} - 1 ∣ < ɛ

gilt. Das gilt speziell auch für

ɛ = \frac{1}{2}

, d.h. mit dem zugehörigen

n_{0}

haben wir insbesondere auch

b_{n} > 1 - ɛ = \frac{1}{2}

und folglich

a_{n} > \frac{1}{98 n}

für alle

n \geq n_{0}

, was ebenfalls für die divergente Majorante reicht.

MathMP

22:31 Uhr, 28.10.2019

Also versuchst du immer wenn es um Minorantenkriterium geht auf den Ausdruck

\frac{1}{n}

zu kommen, weil die Reihe dann divergiert.

Ich dank dir vorerst, werde morgen nochmal alles mit "frischen" Hirn reflektiern, und Beitrag dann morgen gegebenfalls schließen.

HAL9000

22:38 Uhr, 28.10.2019

> Also versuchst du immer wenn es um Minorantenkriterium geht auf den Ausdruck

\frac{1}{n}

zu kommen, weil die Reihe dann divergiert.

Komisch, diese Bestrebung, aus EINER einzigen Aufgabe gleich ableiten zu wollen, dass es immer nur diese eine Minorantenreihe gibt. Dem ist natürlich NICHT so.

MathMP

17:35 Uhr, 29.10.2019

Ja, ich meinte man versucht sich als Ziel eine bekannte Reihe zu nehmen. (hab das falsch ausgedrückt)

Hab mir jetzt alles nochmal angeschaut und möchte mein Verständnis Mithilfe des folgenden Beispiels überprüfen:

\sum {(\frac{n + 5}{n + 10})}^{n}^2

/

der Exponent soll

n^{2}

heißen, wird bei mir nicht ordentlich angezeigt.

Die Konvergenz der Reihe ist mittels Majorantenkriterium zu zeigen

IanI

\leq

{(\frac{n + 5}{n + 10})}^{n}^2 \leq {(\frac{n \cdot \frac{1}{2}}{2 \cdot n})}^{n}^2 = {(\frac{n}{4 n})}^{n}^2 = {(\frac{1}{4})}^{n}^2

die konvergente Majorante

\sum {(\frac{1}{4})}^{n}^2

konvergiert, weil

\sum {(\frac{1}{4})}^{n} =

geometrische Reihe, das Quadrat beim nexponenten

n

hat auf die Feststellung auf Konvergenz keinen Einfluss. Etwas konvergentes hoch 2 bleibt konvergent.

Was hab ich mir dabei gedacht?

\to

Ich versuche auf eine konvergente Reihe zu kommen, die geometrische mit

- 1 < q < 1

konvergiert. Also hab ich versucht auf eine solche Reihe zu kommen und die Vorschrift IanI

\leq

bn nicht zu verletzen.

2 \cdot n > n + 10

n > 10

Was denkst du davon? Richtig? (vorallem bitte meine Abschätzung betrachten). Was hättest du gemacht?

lg

HAL9000

06:52 Uhr, 30.10.2019

Tatsächlich ist

\frac{n + 5}{n + 10} \geq \frac{n \cdot \frac{1}{2}}{2 n}

, zumindest für alle

n \geq 10

, insofern schätzt du NACH UNTEN ab, wieder durch eine konvergente Minorante. Das hat Aussagekraft Null. Es ist irgendwie erschütternd, dass du nicht merkst, dass deine Abschätzung Unsinn ist: Der Quotient

\frac{n + 5}{n + 10}

konvergiert doch offensichtlich gegen 1, während du laut deiner Rechnung fest daran glaubst, dass er kleiner als

\frac{1}{4}

wird. :(

Du gehst also wieder mal viel, viel zu grob vor, hier ist erneut eine feinere Klinge gefragt: Es gilt

lim_{n \to \infty} {(\frac{n + 5}{n + 10})}^{n} = lim_{n \to \infty} {(1 - \frac{5}{n + 10})}^{n} = e^{- 5}

, insofern gibt es einen Index

n_{0}

, so dass

{(\frac{n + 5}{n + 10})}^{n} \leq \frac{1}{2}

für alle

n \geq n_{0}

gilt. Damit klappt dann die Majorantenabschätzung

\sum_{n = n_{0}}^{\infty} {(\frac{n + 5}{n + 10})}^{n^{2}} \leq \sum_{n = n_{0}}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{n}

,

d.h. durch eine konvergente geometrische Reihe.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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