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Reihe auf Konvergenz untersuchen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

IamAPoorStudent aktiv_icon

17:14 Uhr, 25.11.2021

Hallo!

Kurz zur Info: Die Aufgabe sowie der Lösungsansatz wurde unten als Bild drangehängt.

Ich habe versucht das ganze selbständig zu lösen (Quotientenkriterium) und wollte fragen, ob jemand bitte kurz einen Blick drauf werfen könnten?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

N8eule

18:02 Uhr, 25.11.2021

Hallo
Deine Absicht ist erkennbar und wäre zielführend, wenn du formal richtig vorgehen würdest...
Ich will ahnen, häufig wenn du
"2n!"
schreibst, willst du eigentlich

(2 n)!

meinen.
Mach dir klar, dass die Klammer hier wichtig, richtig, Bedeutungs-wandelnd und nötig ist.

Beim Übergang von Zeile 2 zu Zeile 3 scheinst du noch ein

(3 n)!

unterschlagen und/oder vergessen zu haben.

Nochmals systematisch und richtig vorgegangen wirst du möglicherweise auf diesem löblichen Weg zu einem anderen Urteil kommen...

HAL9000

18:45 Uhr, 25.11.2021

@IamAPoorStudent

Eine Anmerkung: Es ist nicht nötig, die diversen

n

-Klammern auszumultiplizieren - letztendlich geht es nur um die Leitkoeffizienten dieser

n

-Polynome, und die bekommt man auch ohne komplettes Ausmultiplizieren.

Zum Fehler: In Zeile 4 gehört Faktor

2 n

im Zähler ersatzlos gestrichen - keine Ahnung, wie du den reingemogelt hast.

Und übrigens kann man

\frac{3 n + 3}{n + 1} = \frac{3 (n + 1)}{n + 1} = 3

kürzen.

IamAPoorStudent aktiv_icon

11:02 Uhr, 26.11.2021

Vielen Dank für die ganzen Tipps und vorallem dass ihr euch die Zeit dafür genommen habt! :-)
Ich habe es jetzt nochmals probiert und auch die ganzen Hinweise umgesetzt.

Hoffe es passt diesmal...

@HAL9000

Habe es diesmal leider wieder ausmultipliziert.
Ich weiß es unnötig kompliziert, jedoch fühle ich mich so irgendwie sicherer..

N8eule

11:45 Uhr, 26.11.2021

Hallo nochmals
Schon Fortschritte, aber...
Willst du dir nicht mal klar machen, dass du wieder sehr typisch

(2 n!)

schreibst,
und dass das nicht gleich

(2 n)!

ist.

Übergang von Zeile

3 \to

\to

Zeile 4:

>

keine Ahnung, woher dein Faktor

(2 n)

im Zähler kommt,

>

keine Ahnung, woher dein Faktor

(3 n)

im Nenner kommt.

IamAPoorStudent aktiv_icon

12:37 Uhr, 26.11.2021

Doch schon, jetzt ist mir schon klar warum

(2 n!) \neq (2 n)!

ist, ich weiß auch nicht warum ich das wieder so hingeschrieben habe...

Ich weiß irgendwie nicht wie man

(2 n)!

und

(3 n)!

genau wegbekommt...

N8eule

12:45 Uhr, 26.11.2021

Wenn du genau hinsiehst, hast du ab der 4. Zeile schon gar keine Fakultäten mehr...

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13:02 Uhr, 26.11.2021

Also wenn ich es dann richtig verstanden habe, dann sieht die 4. Zeile wie gefolgt aus:

| \frac{(3 n + 3) \cdot 4^{2 n}}{(2 n + 2) \cdot (n + 1) \cdot 4^{2 (n + 1)}} |

Ich habe jeweils

\to (3 n + 3)!

mit

(3 n)!

gekürzt

\to (2 n + 2)!

mit

(2 n)!

gekürzt

\to (n + 1)!

mit

n!

gekürzt

Dann kann hier noch weiter kürzen:

= | (\frac{3 (n + 1) \cdot 4^{2 n}}{(2 n + 2) \cdot (n + 1) \cdot 4^{2 (n + 1)}}) |

= | (\frac{3 \cdot 1}{(2 n + 2) \cdot 16}) |

Ist das so korrekt?

N8eule

13:09 Uhr, 26.11.2021

oh je, oh je,
du hattest sehr löblich übersichtlich formal schreibend zu Papier gebracht.
Jetzt auf wörtlich beschreibend umzuschwenken
und dabei sehr verfängliche Dinge in den Mund zu nehmen, wie
"ich habe

(3 n + 3)!

mit

(3 n)!

gekürzt"
das kann nur missverständlicher, schlimmer, fälscher und grausamer werden...

Vorschlag, behalte deinen urspünglich schönen formalen Stil bei, und schaff dir selbst damit Übersicht und Möglichkeit, die Schritte in deinem Stil, Systematik und Geschwindigkeit vor Augen und zu Geist zu führen.

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13:13 Uhr, 26.11.2021

Ehrlich gesagt, ich weiß aber nicht mehr wirklich weiter... Hab' mir das ganze schon mehrmals angesehen, aber ich weiß einfach nicht wie man hier wirklich die Fakultäten wegbekommt...

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13:28 Uhr, 26.11.2021

Ah, kann es sein, dass das Ergebnis

\frac{27}{64}

lautet? :-)

N8eule

13:42 Uhr, 26.11.2021

Der Anfang war doch schon gut (bis auf dieses "(2n!)" ).
Und wie gesagt, eigentlich hattest du schon so weit vereinfacht, dass keine Fakultäten mehr da waren.

Ich schreibe es mal - anlehnend an deinen Hergang

-

in meinen Formalien:

Reihe:

\sum a_{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} ((3 n); (2 n)) \cdot \frac{1}{4^{2 n}}

Quotientenkriterium:

lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = lim a_{n + 1} \cdot \frac{1}{a_{n}} = lim \frac{(\begin{matrix} 3 \cdot (n + 1) \\ 2 \cdot (n + 1) \end{matrix})}{4^{2 \cdot (n + 1)}} \cdot \frac{1}{\frac{(\begin{matrix} 3 n \\ 2 n \end{matrix})}{4^{2 n}}}

= lim \frac{(\begin{matrix} 3 n + 3 \\ 2 n + 2 \end{matrix})}{4^{2 n + 2}} \cdot \frac{1}{\frac{(\begin{matrix} 3 n \\ 2 n \end{matrix})}{4^{2 n}}}

= lim \frac{(3 n + 3)!}{(2 n + 2)! \cdot (n + 1)! \cdot 4^{2 n} \cdot 4^{2}} \cdot \frac{(2 n)! \cdot n! \cdot 4^{2 n}}{(3 n)!}

= lim \frac{(3 n + 3) \cdot (3 n + 2) \cdot (3 n + 1) \cdot (3 n)!}{(3 n)!} \cdot \frac{(2 n)!}{(2 n + 2) \cdot (2 n + 1) \cdot (2 n)!} \cdot \frac{n!}{(n + 1) \cdot n!} \cdot \frac{4^{2 n}}{4^{2 n} \cdot 16}

= lim \frac{(3 n + 3) \cdot (3 n + 2) \cdot (3 n + 1)}{(2 n + 2) \cdot (2 n + 1) \cdot (n + 1)} \cdot \frac{1}{16}

= \frac{1}{16} \cdot lim \frac{3 \cdot (n + 1) \cdot (3 n + 2) \cdot (3 n + 1)}{2 \cdot (n + 1) \cdot (2 n + 1) \cdot (n + 1)}

= \frac{3}{16 \cdot 2} \cdot lim \frac{(3 n + 2) \cdot (3 n + 1)}{(2 n + 1) \cdot (n + 1)}

= \frac{3}{32} \cdot lim \frac{(3 + \frac{2}{n}) \cdot (3 + \frac{1}{n})}{(2 + \frac{1}{n}) \cdot (1 + \frac{1}{n})}

Jetzt sollte aber wirklich nicht mehr verunfallen und kannst du selbst zu Ende führen...

IamAPoorStudent aktiv_icon

13:49 Uhr, 26.11.2021

Vielen lieben tausend Dank, dass Du das jetzt extra noch alles so ausführlich hingeschrieben hast, wäre doch nicht nötig gewesen. Und Danke auch für die Geduld mit mir!

Hab' den Fehler bei mir gefunden vorhin, ich hätte wohl nicht zu früh aufgeben dürfen... Aber jetzt ist es ja geschafft. ;-)

N8eule

13:53 Uhr, 26.11.2021

. .

. um noch zu Ende zu führen...

... = \frac{27}{64}

| lim \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | = \frac{27}{64} < 1

ist die Reihe konvergent.

"wäre doch nicht nötig gewesen"
Ich wage argen Zweifel. Ich ahne, genau das hat gefehlt, um das letzte bisschen konsequente Systematik, Routine mit Fakultäten und Überblick zu schaffen.

HAL9000

13:55 Uhr, 26.11.2021

Und wenn man nochmal ganz genau in den ersten Scan oben schaut, dann begann das Unheil in der vierten Zeile mit dem überflüssigen 2n. Aber diesen meinen Hinweis hat ja IamAPoorStudent leider nicht umgesetzt, stattdessen die Zeile noch verschlimmert durch ein falsches (3n) im Nenner im nächsten Scan. :(

Na, jetzt hat N8eule es richtig dargestellt.

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