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Reihe divergent

Universität / Fachhochschule

Tags: reih

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13:11 Uhr, 09.07.2014

Hallo, ich habe die Reihe

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt[n]{n + 1}}

und soll auf Konvergenz/Divergenz untersuchen. ich denke die Reihe divergiert. Nun muss ich es auch noch zeigen. Das Wurzel und Quotientenkriterium kann man da nicht drauf los lassen. Da hilft wohl nur eine geeignete Minorante zu finden.

Ich habe allerdings keine Idee wie ich sollch eine am geschicktesten zu der Reihe finde. Hat da jemand eine Idee?

Schonmal lieben Dank! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

15:01 Uhr, 09.07.2014

Ich kann dir verraten, dass deine Vermutung richtig ist.
Verwende die Abschätzung

\sqrt[n]{n + 1} \leq 2,

welche für alle

n \in ℕ

gilt.

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20:11 Uhr, 09.07.2014

Hi kenkyu,

damit sollte dann auch alles klar sein.

n \sqrt[n]{n + 1} \leq 2 n

\frac{1}{n \sqrt[n]{n + 1}} \geq \frac{1}{2 n}

und das läuft dann auf eine harmonische Reihe hinaus. Gibt es dazu evtl. einen Trick wie man sollche Minoranten von schwierigeren Ausdrücken findet?

Schonmal lieben Dank! :-)

anonymous

22:50 Uhr, 09.07.2014

Leider kenne ich keinen allgemeinen Trick.

Ich kann dir jedoch verraten, wie ich in diesem Fall darauf gekommen bin:

\sqrt[n]{n + 1} = {(1 + n)}^{\frac{1}{n}}

kam mir so vor wie

{(1 + \frac{1}{n})}^{n}

und von dem wusste ich das es streng monoton steigt mit Grenzwert

e

. Daher hatte ich die starke Vermutung, dass

\sqrt[n]{n + 1} = {(1 + n)}^{\frac{1}{n}}

streng monoton fallend ist mit dem Wert 2 für

n = 1

. Um dir dann nichts falsches zu erzählen, habe ich mir dann selbst nachgewiesen, dass

\sqrt[n]{n + 1} \leq 2

für

n \in ℕ,

da für

n \in ℕ

gilt:

2^{n} = \sum_{k = 0}^{\infty} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) = 1 + n + \sum_{k = 2}^{\infty} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \geq n + 1

(Danach bin ich auch darauf gekommen, dass diese Abschätzung auch nach Bernoulli-Ungleichung für reelle Exponenten gilt.)

Bei solchen Reihen, bei denen man schon vermutet dass sie divergieren und die der harmonischen Reihe auch gar nicht so unähnlich sind, kann man recht häufig zur harmonischen Reihe abschätzen. Die harmonisch Reihe ist ja auch eine Reihe, die zwar divergiert, aber trotzdem nur relativ langsam ansteigt. Schließlich konvergiert ja schon

\sum_{n} \frac{1}{n^{s}}

für beliebige

s > 1

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22:58 Uhr, 09.07.2014

Coole Sache! :-)

Noch eine Frage, wie bist du von

2^{n}

auf die Reihe gekommen?

anonymous

23:01 Uhr, 09.07.2014

Für

n \in ℕ

ist:

\sqrt[n]{n + 1} \leq 2 \Leftrightarrow n + 1 \leq 2^{n}

Meine Vermutung war

\sqrt[n]{n + 1} \leq 2

und bewiesen habe ich es über

n + 1 \leq 2^{n}

.

Edit: Oder meinst du, wie ich

n + 1 \leq 2^{n}

gezeigt habe?

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20:34 Uhr, 10.07.2014

Hi, ich meine du das ja geschrieben:

2^{n} = s u m_{k = 0}^{\infty}

über Binomialkoeffizienten. Ich weiß gerade nicht wie man den Binomialkoeffizienten n über k mit LaTeX darstellt. Wie kommst du darauf? :-)

anonymous

23:02 Uhr, 10.07.2014

Das hatte ich damals in meiner Analysis I - Vorlesung gesehen. Kennst du evtl. den Binomialsatz?

{(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \cdot a^{k} \cdot b^{n - k}

Für

a = b = 1

erhält man dann

2^{n} = {(1 + 1)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \cdot 1^{k} \cdot 1^{n - k} = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})

als Spezialfall.

Interessant ist auch (aus Wikipedia zitiert):
" Dieser Formel liegt ein kombinatorischer Sachverhalt zu Grunde. Da

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})

die Anzahl aller

k

-elementigen Teilmengen einer Menge mit

n

Elementen entspricht, ergibt sich durch die Summation die Anzahl aller ihrer Teilmengen, also

2^{n}

. "

Falls es dich wundert, warum bei mir die Summe bis

\infty,

statt bis

n,

ging:
Eigentlich wollte ich nur bis

n

summieren und habe mich verschrieben. Allerdings ist das geschriebene auch nicht falsch, da für

k > n

der Binomialkoeffizient

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})

gleich Null ist.

gonnabeph aktiv_icon

23:04 Uhr, 10.07.2014

Alles klar, jetzt ist mir das auch klar. Dann kann die Klausur ja kommen! ;D
Vielen lieben Dank für deine tolle Hilfe.

Lieben Dank! :-)

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