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Reihe ist stetig differenzierbare Funktion?
Universität / Fachhochschule
Folgen und Reihen
Tags: Folgen und Reihen, gleichmäßige Konvergenz, stetig differenzierbar
 
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Hallo, ich soll zeigen ob eine gegebene Reihe g(x) (die gleichmäßig konvergent ist) eine stetig differenzierbare Funktion darstellt. Was sind die allgemeinen Schritte um das zu zeigen? Welchen Forderungen muss die Funktion genügen? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Die differenzierte Reihe muss wieder glm konvergent sein. ledum |
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Die differenzierte Reihe muss wieder glm konvergent sein. ledum |
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Reicht das aus? Also durch Ableitung zeigt man Differenzierbarkeit und wenn die Reihe davon dann gleichm. konvergiert, ist gezeigt das die Grenzfunktion über die unendliche Summe stetig diff'bar ist? |
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Ausreichen sollte es auf jeden Fall, denn die Grenzfunktion einer auf gleichmäßig konvergenten Funktionenfolge (hier: Funktionenreihe (also Folge der Partialsummen)) ist auf stetig. Ein typisches Beispiel sind Potenzreihen: Hat eine Potenzreihe den Konvergenzradius um , so kann man sie gliedweise ableiten und die differenzierte Reihe konvergiert auf jedem abgeschlossenen Teilintervall von gleichmäßig gegen . Damit ist die Potenzreihe auf dem offenen Intervall sogar STETIG differenzierbar. Ist nämlich vorgelegt, so finden wir ein abgeschlossenes Teilntervall von , das enthält, und die Ableitung ist auf diesem gesamten abgeschlossenen Teilintervall (als Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Funktionenreihe) stetig, insbesondere ist sie in stetig. Ob die differenzierte Reihe aber gleichmäßig konvergieren MUSS, weiß ich ehrlicherweise nicht. Wie gesagt, hinreichend sollte es sein, ob notwendig, kann ich nicht sagen. |
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Ok, vielen Dank für die Antworten :-) |
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