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Reihe mit Glieder an gerade und ungerade

Universität / Fachhochschule

Funktionenreihen

Tags: Funktionenreihen

Dickie123 aktiv_icon

11:36 Uhr, 01.12.2019

Hallo ich bin neu hier im Forum und beiße mir gerade an einer Aufgabe die Zähne aus.

Die Aufgabe wäre

Betrachte die Reihe \\sum

_{k = 0}^{\infty}

ak mit den Gliedern

an=

\frac{n}{2^{n}}, n

ungerade und an

= \frac{1}{2^{n}}, n

gerade

Man soll untersuchen, ob

lim n

gegen unendlich |an+1/an| bzw.

lim n

gegen unendlich nwurzel|an| existieren. (Quotientenkriterium und Wurzelkriterium. Ist \\sum

_{k = 0}^{\infty}

ak absolut konvergent?

Hatte erst den Ansatzn gerade und ungerade für das Quotientenkriterium und Wurzelkriterium zu berechnen, aber der Ansatz war wohl falsch.

Hat jemand eine Idee?

Hoffe man erkennt das die Reine gegen unendlich gehen soll und

k = 0

ist. Weiß leider nicht, wie ich hier Zeichen einsetze.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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11:43 Uhr, 01.12.2019

\frac{1}{2^{n}}

ist eine geometrische Reihe.

\frac{n}{2^{n}} :

Quotientenkriterium liefert den Grenzwert.

HAL9000

11:50 Uhr, 01.12.2019

Diese Aufgabe soll verdeutlichen, dass es konvergente Reihen gibt, wo man diese Konvergenz zwar über das Wurzelkriterium, aber nicht über das Quotientenkriterium (zumindest nicht das "Original") nachweisen kann:

Für gerade

n

ist

\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{\frac{n + 1}{2^{n + 1}}}{\frac{1}{2^{n}}} = \frac{n + 1}{2}

.

Für ungerade

n

ist hingegen

\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{\frac{1}{2^{n + 1}}}{\frac{n}{2^{n}}} = \frac{1}{2 n}

Dickie123 aktiv_icon

12:04 Uhr, 01.12.2019

Danke euch beiden schon mal. Also lag ich doch nicht so falsch das jeweils erstmal einzusetzen?

Hatte das auch jeweils für das Wurzelkriterium eingesetzt und

\frac{1}{2}

jeweils raus. Da bei beiden dann dafür das gleiche Ergebnis rauskommt, gilt das Wurzelkriterium? Oder wie kann ich das genau verstehen?

HAL9000

12:09 Uhr, 01.12.2019

Das Wurzelkriterium "gilt" hier in dem Sinne, dass es angewandt werden kann.

Das Quotientenkriterium liefert hingegen weder Konvergenz (dazu müsste es ein

0 < q < 1

und ein

n_{0}

geben mit

∣ \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} ∣ \leq q

für alle

n \geq n_{0}

) noch Divergenz (dazu müsste es ein

n_{0}

geben mit

∣ \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} ∣ \geq 1

für alle

n \geq n_{0}

), d.h., keine Entscheidung.

Dickie123 aktiv_icon

12:44 Uhr, 01.12.2019

Vielen Dank dafür. Ich hätte noch eine Frage. Es soll ja noch angegeben werden, ob die Reihe absolut konvergent ist.

Die wäre ja dann absolut konvergent nach dem Wurzelkriterium, da