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Reihe mit natürlichem Logarithmus

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen, Konvergenz, ln, Natürlicher Logarithmus, Reihen

anonymous

20:16 Uhr, 28.11.2010

Hallo!
Ich soll diese Reihe auf KOnvergenz prüfen:

\sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{k ln k}

ln

ist der natürliche Logarithmus und ich hab mir schon überlegt, das als

{(1 + \frac{1}{k})}^{k}

hinzuschreiben, aber irgendwie bringt mich das alles nicht weiter.
Könnte mir vielleicht jemand erklären, wie ich das mit dem

ln

lösen muss??
Vielen Dank!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
ln-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

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20:31 Uhr, 28.11.2010

Hallo,

hier kannst du das Verdichtungskriterium oder das Integralkriterium verwenden.

anonymous

20:40 Uhr, 28.11.2010

Integralkriterium hatten wir noch nicht, also Verdichtungskriterium.

Also die Reihe wäre konvergent, wenn

\sum_{k = 2}^{\infty} 2^{k} {(\frac{1}{2 ln 2})}^{k}

konvergent ist (?)
Und wie löse ich das ganze mit dem

ln

auf? Ich bin grad etwas unsicher, weil mir sowas zum ersten mal begegnet...
Aber Danke schonmal!!

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20:45 Uhr, 28.11.2010

Die Reihe die das gleiche Konvergenzverhalten hat lautet:

\sum_{k = 1}^{\infty} 2^{k} \cdot x_{2^{k}}

Du hast dein

x_{k}

falsch eingesetzt, es gilt:

\sum_{k = 2}^{\infty} \frac{2^{k}}{2^{k} \cdot \ln (2^{k})}

anonymous

12:30 Uhr, 29.11.2010

Oh ok danke, also hab ich dann folgendes:

\sum_{k = 2}^{\infty} \frac{2^{k}}{2^{k} \cdot ln (2^{k})} = \frac{1}{ln (2^{k})}

und was kann ich jetzt über die Konvergenz aussagen? Ist das eine Nullfolge und deshalb konvergiert die Reihe??

Alx123 aktiv_icon

12:52 Uhr, 29.11.2010

Du hast ja auf der rechten Seite kein Summenzeichen mehr, es gilt:

\sum_{k = 2}^{\infty} \frac{2^{k}}{2^{k} \cdot \ln (2^{k})} = \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{\ln (2^{k})} = \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{k \cdot \ln (2)} = \frac{1}{\ln (2)} \cdot \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{k}

anonymous

16:22 Uhr, 29.11.2010

Achja das Summenzeichen ist anscheinend verloren gegangen...
Dann steht da jetzt

\frac{1}{ln (2)} \cdot \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{k}

in der Summe steht jetzt die harmonische Reihe, die ja divergent ist, heißt das, dass die Reihe aus der Angabe auch divergiert?

Alx123 aktiv_icon

16:57 Uhr, 29.11.2010

Genau.

anonymous

18:43 Uhr, 29.11.2010

Vielen Dank für deine Geduld, ich habe jetzt noch weitere ähnliche Beispiele gelöst und sehe jetzt vieles klarer!!
Danke!

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