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Reihen: Konvergenz, Divergenz, Absolute Konv.
Universität / Fachhochschule
Differentiation
Folgen und Reihen
Tags: divergenz, Folgen und Reihen, Konvergenz, Majorantenkriterium????, Minorantenkriterium
 
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Hallo :-D) Ich habe hier im Anhang 3 Folgen von welchen ich die Konvergenz/Divergenz/Absolute Konvergenz bestimmen soll. Es wäre echt super hilfreich wenn jemand drüber schauen kann und seine Meinung dazu geben kann ob alles richtig ist und vor allem sauber aufgeschrieben ist (mehr oder weniger, dinge wie konvergieren gegen 0 setzte ich voraus und müssen natürlich nicht gezeigt werden) Besonders bei der 3 Reihe bin ich mir etwas unschlüssig. Meine reihe ist ja erst ab dem ca Wert größer als die Minorante (Harmonische Reihe) Stimmt meine Begründung dann trotzdem oder ist Alles Falsch? :-D) Danke im Vorraus PS: Die Bilder werden leider herunter skaliert ich hoffe man kann alles trotzdem lesen :-D)    Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Bei sollte es doch reichen festzustellen, dass die Glieder keine Nullfolge bilden, oder? |
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Stimmt jetzt sehe ich es auch. Aber wie genau ist das für das Majoranten und MinorantenK. muss diese für alle erfüllt sein oder reicht das ab einem bestimmten? |
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Die ersten endlich vielen sind da völlig egal im Vergleich zur Unendlichkeit. Hauptsache dass ab einem Index (egal wie groß der auch sein mag) der entsprechende Vergleich IMMER stimmt. Denn endlich viele Summanden haben immer auch eine endliche Summe, welche nie etwas am Konvergenzverhalten ändern kann. |
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Na dann stimmt mein Ansatz ja trotzdem, wenn auch nicht so sinnvoll. :-D) Dankeschön |
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Na dann stimmt mein Ansatz ja trotzdem, ja, durchaus. Und auch wenns relativ einsichtig ist (da die Summanden ja nur zwischen zwei konstanten Werten alternieren) könnte man noch genauer ausführen, warum ab der Ausdruck immer kleiner als ist. Auch das führt dann darauf, dass eine untere Schranke für die ist (und die daher keine Nullfolge bilden). |
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(1) ist divergent, das sieht man durch Zusammenfassen zweier aufeinanderfolgender Glieder und : Die Ausgangsreihe ist KEINE Leibnizreihe, da keine Monotonie der Absolutbeträge vorliegt. :( |
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Oh Dankeschön, stimmt aber der Rest? Dann muss ich mir diese Aufgabe wohl nochmals anschauen |
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2) ist absolut konvergent, was per Majorantenkriterium mit einer passenden konvergenten geometrischen Reihe folgt - so ähnlich hast du das ja auch aufgeschrieben. Da muss man Leibniz für die einfache Konvergenz gar nicht mehr bemühen. Bei 3) hat man nur zwei verschiedene Reihenglieder: für ungerade und für gerade . Was gibt es da noch groß zu diskutieren - natürlich ist das divergent! |
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Alles Klar Dankeschön. Eine kleine Frage hab ich dann noch zu deiner Aussage: "Die Ausgangsreihe ist KEINE Leibnizreihe, da keine Monotonie der Absolutbeträge vorliegt. :(" Monotonie der Absolutbeträge? de.wikipedia.org/wiki/Leibniz-Kriterium Unter Aussage des Kriteriums steht nur das sie eine Monoton fallende Nullfolge sein muss. Wie darf ich deine Aussage verstehen? Die Reihe ist doch der form ? Ich bezweifel deine Aussage natürlich nicht. Das ergibt sich auch durch Online Rechner :-D) aber trotzdem verwirrt mich das |
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Das Reihenglied ist mit . Der Absolutbetrag des Reihengliedes ist damit , und die Folge dieser Absolutbeträge muss eine monoton fallende Nullfolge sein, damit das Leibniz-Kriterium angewandt werden darf - so sind nun mal dessen Voraussetzungen! Die Reihenglieder der Leibniz-Reihe direkt bilden KEINE monotone Folge, schon allein aufgrund des alternierenden Vorzeichens dieser Werte - deswegen MUSS man von deren Absolutbeträgen sprechen! Ist schon komisch, dass einem mit Unverständnis begegnet wird, nur weil man sich nicht schlampig unkorrekt ausdrücken will... |
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Vielen Dank, Komischerweise steht sowohl in meinem Skript von der Uni als auch auf Wikipedia nicht direkt das diese Voraussetzung gelten muss. Wahrscheinlich ergibt sie sich. Aber Trotzdem schadet es doch nicht diese zu nennen. |
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> auf Wikipedia nicht direkt das diese Voraussetzung gelten muss. Dann scheinst du nicht richtig zu lesen: In der Wikipedia steht klar und deutlich, dass eine monoton fallende, reelle Nullfolge sein muss. de.wikipedia.org/wiki/Leibniz-Kriterium |
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