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Reihen auf Konvergenz prüfen!!

Universität / Fachhochschule

Tags: Zahlentheorie

anonymous

15:16 Uhr, 30.03.2004

Hallo,
Die Aufgabenstellung lautet wie folgt:

Für genau welche x aus der Menge der reelen Zahlen konvergieren folgende Reihen?Bestimmen sie ihren Wert.

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{{x - 1}^{k}}{{x + 1}^{k}}

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x^{k}}{2^{k}}

MarcelHu

15:50 Uhr, 30.03.2004

Hallo,

entweder man überlegt es sich mit der geometrischen Reihe oder man benutzt das (sich daraus ergebende) Wurzelkriterium:

In die erste Reihe darf man ausserdem niemals x=-1 einsetzen!

1.limsup(k->oo) k-te Wurzel(|(x-1)^k/(x+1)^k|

=|x-1|/|x+1| für festes x.

(I) Falls also |x-1|/|x+1| < 1 => Konvergenz

(II) Falls |x-1|/|x+1| > 1 => Divergenz

Berechne damit deine jeweiligen x und teile uns deine Ergebnisse bitte mit.

Falls |x-1|/|x+1|=1, also falls

(*) |x-1|=|x+1|, so folgt x=0 und wir können im Allgemeinen keine Aussage über die Konvergenz machen (was ich hier meine, ist eigentlich:

wenn limsup(k->oo) k-te Wurzel |...|=1, so kann man i.A. keine Aussage treffen). Hier geht es jedoch...

(*) ist genau dann erfüllt, wenn x=0.

In diesem Fall hat deine Reihe diese Form (einfach x=0 einsetzen):

(-1)^1+(-1)^2+(-1)^3+(-1)^4+...

=-1+1-1+1-1+1-1+...

Na, konvergiert sie dann? Richtig, sie konvergiert nicht!

2. limsup(k->oo) k-teWurzel(|x^k/2^k|)

=|x|/|2|=|x|/2

Wenn nun |x|/2 < 1 => Konvergenz

Wenn nun |x|/2 > 1 => Divergenz

Für x=2 sieht deine Reihe so aus:

(2/2)^1+(2/2)^2+(2/2)^3+...

=1+1+1+1+...

=> Divergenz

Für x=-2 sieht deine Reihe so aus:

(-2/2)^1+(-2/2)^2+(-2/2)^3+...

=-1+1-1+1-1+...

=> Divergenz

Genügt das vorerst? Teile uns bitte deine Ergebnisse mit!

Achja, zur Bestimmung des Reihenwertes:

Dir sollte bekannt sein:

(III) Summe (i=0 bis oo) (q^i)=1/(1-q) falls |q| < 1.

Also ist:

(IV) Summe (i=1 bis oo) (q^i)=[1/(1-q)]-1 falls |q| < 1

Da deine Reihen (im Falle der Konvergenz) ja erst ab dem Index 1 loslaufen, benutzt du Formel (IV) und setzt dort bei der ersten Reihe

q:=(x-1)/(x+1) (im Falle der Konvergenz)

und bei der zweiten Reihe:

q:=(x/2) (im Falle der Konvergenz)

ein!

Und falls dir das Wurzelkriterium unbekannt sein sollte, betrachte nochmal (III) bzw. (IV). Eigentlich genügt dies zur Lösung deiner Aufgabe (Stichworte: Teilsummenfolge, geometrische Summenformel). Bei Unklarheiten/Problemen melde dich bitte nochmal...

Viele Grüße

Marcel

anonymous

17:36 Uhr, 30.03.2004

Hallo,

Beides muss ich also nicht anwenden Wurzelkriterium und geometrische Reihe!Also muss ich doch einfach bei der Aufgabe mit x^k/2^k die geometrische reihe bilden die wäre |1/(1-x/2)|<1! Ich brauch doch eine obere und untere Grenze oder?Fallunterscheidung?

MarcelHu

18:22 Uhr, 30.03.2004

Hallo,
vielleicht eines vorweg:
> "...Aufgabe mit x^k/2^k die geometrische reihe bilden die wäre |1/(1-x/2)|<1..."
Nicht ganz, denn dort übersiehst du einige Dinge.
Erstens:
Die geometrische Reihe brauchst du eigentlich nicht mehr zu bilden, denn sie steht schon fast dort. Ich weiß also nicht genau, was du mit bilden meinst?!
Zweitens:
Bei der geometrischen Reihe (mit x/2) gilt dies:
1/(1- x/2) nur im Falle der Konvergenz der Reihe -> siehe unten...
Ausserdem beginnt deine Reihe nicht bei k=0 (wie es bei der geometrischen Reihe der Fall ist), sondern bei k=1. Also, im Falle der Konvergenz, müsstest du noch den entsprechenden Ausruck 1=(x/2)^0=(x^0)/(2^0) von der geometrischen Reihe abziehen, um deine zu erhalten -> siehe unten. Ausserdem macht dieses hier:
>"...|1/(1-x/2)|<1..." keinen Sinn. Schau dir bitte nochmal genau die Aussage des Wurzelkriteriums an!

Ansonsten: Nein, du brauchst nicht beides. Das Wurzelkriterium kannst du anwenden, um die Fälle (hier: bis auf höchstens 2 Ausnahmen) zu bestimmen, wo die Reihen konvergieren und divergieren.
Da du aber eh den Grenzwert im Falle der Konvergenz berechnen sollst (das habe ich erst später gelesen), kannst du alles hier auch direkt über die geometrische Reihe bestimmen. Ich zeige es dir hier nochmal direkt
=>
Für jede reelle Zahl r gilt:
Sei S(n):=Summe (i=0 bis n) {r^i} für n aus IN.
Dann gilt:
Die Folge der Teilsummen S(n) konvergiert genau dann, wenn |r| < 1 ist.
Und in diesem Falle gilt:
lim(n->oo) S(n)=1/(1-r)

Diese Aussagen sind dann äquivalent zu:
-
Sei T(n):=Summe (i=1 bis n) {r^i} für n aus IN.
Dann gilt:
Die Folge der Teilsummen T(n) konvergiert genau dann, wenn |r| < 1 ist.
Und in diesem Falle gilt:
lim(n->oo) T(n)=[1/(1-r)]-1
(Ist dir das klar? Sonst frage nach...).
-

zu deiner ersten Reihe:
Wegen der Aussage zwischen den - - gilt (und weil: (x-1)^k/(x+1)^k=[(x-1)/(x+1)]^k, also r=(x-1)/(x+1)):
Diese Reihe konvergiert genau dann, wenn |x-1|/|x+1| < 1. In allen anderen Fällen ist sie divergent.
(Hast du mittlerweile diese x-Werte, also diese Intervalle, schonmal berechnet?)

zu deiner zweiten Reihe:
Bei dieser Reihe gilt ebenso wegen - - (und weil x^k/2^k=(x/2)^k, also r=(x/2)):
Diese Reihe konvergiert genau dann, wenn |x/2| < 1.

Beachte auch:
Die Konvergenz der (beiden) Reihen ist (jeweils) von den x abhängig, also ist auch der Reihenwert (im Falle der Konvergenz) von x abhängig. Im Grenzwert darf also die Variable x auftauchen!

Ich denke, ich rechne dir die (einfachere) Aufgabe 2 mal vor, aber die erste Aufgabe löst du dann alleine, okay? Das geht nämlich vollkommen analog, nur braucht man noch eine spezielle Fallunterscheidung, um herauszufinden, für welche x die Ungleichung |x-1| < |x+1| gilt. Teile mir bitte deine Ergebnisse mit (zur Kontrolle).

Es gilt:

\sum_{k = 1}^{oo} \frac{x^{k}}{2^{k}} = (\sum_{k = 0}^{oo} \frac{x^{k}}{2^{k}}) - 1 = (\sum_{k = 0}^{oo} {(\frac{x}{2})}^{k}) - 1

Also konvergiert diese Reihe genau dann, wenn |x/2| < 1 ist (vergleiche die Aussage über - - bzw. die Aussage in - -), und es ist:
|x/2| < 1
<=>
|x| < 2

Also konvergiert diese Reihe genau dann, wenn x aus dem offenen Intervall (-2,2):={x: -2 < x < 2} ist.
In diesem Fall gilt für den Grenzwert dieser Reihe:
Der Grenzwert ist:

\frac{1}{1 - \frac{x}{2}} - 1 = \frac{2}{2 - x} - 1 = \frac{2}{2 - x} - \frac{2 - x}{2 - x} = \frac{2 - (2 - x)}{2 - x} = \frac{x}{2 - x}

Hier ist die Aufgabe schon beendet, aber ich will nochmal auf das Wurzelkriterium hinweisen, wie man die Aussagen (zumindest über Konvergenz/Divergenz) zeigt. Also:
Wolltest du nur Aussagen über die Konvergenz machen, so würde es genügen, das Wurzelkriterium anzuwenden. Wie eben gilt:

\sum_{k = 1}^{oo} \frac{x^{k}}{2^{k}} = \sum_{k = 1}^{oo} {(\frac{x}{2})}^{k}

und nach dem Wurzelkriterium konvergiert diese Reihe, falls mit b definiert wie folgt:

b : = \underset{k \to oo}{limsup \sqrt[k]{| {(\frac{x}{2})}^{k} |}} = \underset{k \to oo}{limsup} \sqrt[k]{{| \frac{x}{2} |}^{k}} = \underset{k \to oo}{limsup} | \frac{x}{2} | = | \frac{x}{2} |

gilt: b < 1.
Die Reihe divergiert, falls b > 1 (nach dem Wurzelkriterium). Für b=1 müssen wir Glück haben, um Aussagen über die Konvergenz treffen zu können (hier hatten wir Glück, z. B. weil es (fast) die geometrische Reihe war).
Nach dem Wurzelkriterium hättest du also für Aufgabe 2:
Konvergenz im Falle |x|/2 < 1 und
Divergenz im Falle |x|/2 > 1.
Für |x/2|=1 kann man i.A. bei dem Wurzelkriterium keine Aussage treffen (in diesem speziellen Fall schon!).

Das Wurzelkriterium sagt aber nichts(!!!) über den Reihenwert aus!

Und vielleicht nochmal, damit du hier nun auch wirklich die geometrische Reihe siehst:
Für eine beliebige reelle Zahl r betrachten wir die (zunächst formale) Reihe

A) \sum_{k = 0}^{oo} r^{k}

Dann ist diese Reihe konvergent genau dann, wenn |r| < 1 ist (ich bin mir nicht sicher, ob man nur im Falle der Konvergenz von der geometrischen Reihe spricht oder ob allein die Darstellung aus A) genügt. Ich meinte eigentlich immer diese Darstellung!!!). In diesem Fall (wenn also für r gilt: |r| <1) gilt für den Reihenwert der Reihe aus A):

\sum_{k = 0}^{oo} r^{k} = \frac{1}{1 - r}

Setzt du nun in A) r:=(x/2) ein, so folgt in A)

\sum_{k = 0}^{oo} {(\frac{x}{2})}^{k}

Das ist schon fast die Reihe aus der 2en Aufgabe, nur:
Der Index beginnt hier bei 0, in deiner Aufgabe jedoch bei 1. Das wirkt sich natürlich auch auf den Grenzwert aus (nicht auf die Konvergenz)!

Viele Grüße
Marcel

anonymous

23:03 Uhr, 30.03.2004

Hallo,

Hört sich vieleicht blöd an aber wann ist genau die Konvergenz erfüllt. Damit mein ich nur bei |x|<1 oder auch bei |x|<2!Untere obere Grenze?

MarcelHu

23:35 Uhr, 30.03.2004

Hallo Armin,
wie sagt man so schön:
Es gibt keine blöden Fragen, nur blöde Antworten ;-)

Also:
Ich hoffe, du hast verstanden, wie die Reihe, die ich hinter A) notiert habe, mit der zweiten Reihe deiner Aufgabe zusammenhängt (sie hängt natürlich in analoger Weise mit deiner ersten Reihe zusammen).
Leider weiß ich nun nicht, auf welche Reihe sich deine Frage bezieht. Ich gehe mal davon aus, dass sie sich auf die 2e Reihe bezieht. Allerdings habe ich dir doch schon erläutert, dass die 2e Reihe genau dann konvergiert, wenn |x/2| < 1 ist; also |x| < 2. Also konvergiert die Reihe für alle x aus dem offenen Intervall (-2;2). Für x<=-2, also x aus (-oo;-2] divergiert die Reihe; ebenso divergiert sie im Falle x>=2, also x aus [2,oo).
Ich weiß jetzt leider auch nicht, was du mit untere, obere Grenze meinst
(-2 als untere und +2 als obere Grenze des "Konvergenzintervalles" vielleicht? Beachte aber, dass -2 und 2 nicht mehr zum "Konvergenzintervall" gehören. Das "Konvergenzintervall" ist hier ein offenes Intervall:
(-2;2):={x aus IR: -2 < x < 2}).

Sollte sich wider meines Erwartens deine Frage auf die erste Reihe beziehen, so erkläre mir bitte nochmal, was genau du wissen willst.

Zur zweiten Reihe:
Ich schreibe es halt nochmal, vielleicht erkennst du es, wenn ich es so notiere. Für r:=(x/2) ist

\sum_{k = 0}^{oo} r^{k} = \sum_{k = 0}^{oo} {(\frac{x}{2})}^{k} = \sum_{k = 0}^{oo} \frac{x^{k}}{2^{k}} = 1 + \sum_{k = 1}^{oo} \frac{x^{k}}{2^{k}} = 1 + \sum_{k = 1}^{oo} {(\frac{x}{2})}^{k}

Diese Reihe konvergiert genau dann, wenn |r| < 1 (und wegen r=(x/2) ist das hier genau dann, wenn |x| < 2).
D.h. (beachte: das ist eine "genau dann, wenn"-Aussage) für alle r mit |r| >=1 divergiert diese Reihe. Also divergiert diese Reihe für alle x mit |x| >=2.

Im Falle der Konvergenz, d.h. im Falle |r| < 1, was hier äquivalent ist zu |x/2| < 1; d.h. für alle x mit |x| < 2 gilt für den Reihenwert (für festes x mit |x| < 2):

\sum_{k = 0}^{oo} r^{k} = \frac{1}{1 - r} \Leftrightarrow 1 + \sum_{k = 1}^{oo} r^{k} = \frac{1}{1 - r} \Leftrightarrow \sum_{k = 1}^{oo} r^{k} = \frac{1}{1 - r} - 1

Jetzt brauchst du nur noch wieder r=x/2 einsetzen (in die letzte Gleichung), und du erhältst den Reihenwert deiner zweiten Reihe (beachte hier: |r| < 1 <=> |x| < 2).
Und wenn ich deine Frage richtig verstanden habe, und sie sich auf die 2e Reihe bezieht, dann ist die Konvergenz der Reihe, wie bereits gesagt, genau dann erfüllt, wenn |x| < 2. Natürlich ist sie damit auch insbesondere für alle x mit |x| < 1 erfüllt, weil für alle x mit |x| < 1 gilt:
|x| < 1 < 2.

Ferner auch mal einen Link, damit du die Informationen über die geometrische Reihe nachlesen kannst:
http//de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe
http//www.uni-konstanz.de/FuF/mathe/homepages/racke/mblatt/mb4.pdf
(-> Satz 4.3)
Zum Betrachten des 2en Links benötigst du entweder z.B. den kostenlosen Acrobat Reader oder das kostenlose Programm Ghostview...

Viele Grüße
Marcel

anonymous

12:01 Uhr, 31.03.2004

Servus Marcel,

Ich hätte da noch mal zwei andere Aufgaen die ich auf Konvergenz prüfen soll.Diese Reihen sollen in das Bildungsgesetz umgeformt werden. Das ist nicht das Problem(sind doch richtig oder?), sondern diese dann auf Konvergenz prüfen.Kann das sein das beide Reihen divergieren?Und zwar:

MarcelHu

12:37 Uhr, 31.03.2004

Hallo Armin,

du hast vergessen, die Reihen zuzufügen (oder es gab technische Probleme).

Zumindest werden sie bei mir nicht angezeigt.

Viele Grüße

Marcel

anonymous

14:59 Uhr, 31.03.2004

Servus Marcel,

Entschuldige das sind die Aufgaben!

Armin

1 - \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{4}} \pm .... \frac{1}{1 + 1^{4}} + \frac{2}{1 + 2^{4}} + \frac{3}{1 + 3^{4}} + .....

MarcelHu

15:08 Uhr, 31.03.2004

Hallo Armin,
zunächst stellen wir die Reihen mal mit dem Summenzeichen dar:
1.)

\sum_{k = 1}^{oo} {(- 1)}^{k + 1} {(\frac{1}{k})}^{\frac{1}{2}}

Weil nun (1/k)^(1/2) -> 0 (k->oo) und dies eine monoton fallende Folge ist,
also weil dies eine monoton fallende Nullfolge (nichtnegativer) Zahlen ist, konvergiert diese Reihe nach dem Leibnizkriterium (-> Skript, unten, Satz 6.10)!
Betrachten wir nun die 2e Reihe:
Diese hat die Darstellung:
2.)

\sum_{k = 1}^{oo} \frac{k}{1 + k^{4}}

Wir suchen eine konvergente Majorante:
Wegen 1+(k^4) > k^4 für alle k aus IN folgt:
1/(1+(k^4)) < (1/(k^4))
Also gilt:

\sum_{k = 1}^{oo} \frac{k}{1 + k^{4}} \leq \sum_{k = 1}^{oo} \frac{k}{k^{4}} = \sum_{k = 1}^{oo} \frac{1}{k^{3}}

Wegen Beispiel 6.9 (-> Skript, unten) ist die letzte Reihe konvergent.
Nach Satz 6.15 (->Skript, unten), also dem Majorantenkriterium, konvergiert damit auch die 2e Reihe.
Somit sind beide Reihen konvergent.

Link zum Skript:
http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/
=> Skript zur Analysis...
oder direkt unter
http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/pdfANAI.pdf

Viele Grüße
Marcel

anonymous

16:30 Uhr, 31.03.2004

Hallo,

Eine Frage hab ich noch zu der Aufgabe 1 ganz am Anfang. Ich hab da raus die Lösung kE ]0,+unendlich[! Stimmt das?

MarcelHu

17:48 Uhr, 31.03.2004

Hallo Armin,

du hast also versucht herauszufinden, für welche x gilt:

(I) |x-1| < |x+1|.

Dazu benötigst du eine Fallunterscheidung:

1. Fall:

x >= 1

(dann folgt schon: x+1 > 0):

Dann ist (I) äquivalent zu:

x-1 < x+1

<=>

0 < 2

Das ist offenbar immer war. D.h. (I) gilt für alle x >= 1, also für x aus [1,oo). (denn: aus 0 < 2 folgt stets die Gültigkeit von (I) für alle x >=1).

2.Fall:

x <= 1 und x > -1

Dann ist (I) äquivalent zu

-(x-1) < x+1

<=>

-x+1 < x+1

<=>

2x > 0

<=>

x > 0

D.h. in diesem Fall folgt aus (I) x > 0, und aus x > 0 folgt (I).

(I) ist (hier) also genau dann erfüllt, wenn 0 < x <=1 gilt, also für x aus (0,1]. Für -1 < x <=0, also für x aus (-1,0] ist (I) nicht erfüllt.

3. Fall:

x <=-1.

Dann ist (I) äquivalent zu:

-(x-1) < -(x+1)

<=>

x-1 > x+1

<=>

-2 > 0

-2 > 0 ist offenbar falsch. Also kann (I) (in diesem Falle) niemals gelten, falls x <= -1, weil (I) sonst -2 > 0 implizieren würde, was ja offenbar falsch ist.

Also ist die (allererste ganz oben stehende Reihe in diesem Thread) konvergent genau dann, wenn gilt:

x aus ([1,oo) vereinigt mit (0,1]) (erster und zweiter Fall), also konvergiert diese genau dann, wenn gilt:

x aus (0,oo)

Also hast du Recht. Denn man kann (0,oo) auch schreiben:

]0,+unendlich[

Das sind ja nur andere Schreibweisen!

Ich hatte das noch nicht ausgerechnet, deshalb habe ich es nun hier vorgerechnet, aber wie gesagt, du hast das richtige Ergebnis herausbekommen!

Viele Grüße

Marcel

Martin

18:50 Uhr, 14.12.2005

bin ganz am anfang meines studiums. kann mir jemand sagen wie ich diese aufgaben lï¿½sen kann:

Untersuchen sie folgende Reihen auf Konvergenz:

(1) Summe k=1 bis unendlich 3/4^k

....

Grenzwert bestimmen der folg. Teleskopreihen:

(1) Summe n=1 bis unendlich n+3/n(n+1)(n+2)

Vielen Dank im Voraus.

Gruï¿½ Martin

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