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Reihen und Komplexe Folgen
Universität / Fachhochschule
Tags: Analysis
 
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anonymous 23:37 Uhr, 19.05.2006  |
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Hallo an Alle! Ich habe da zwei Fragen, die aber in die selbe Kategorie gehören. Die erste Frage ist, wie man den Grenzwert oder besser gesagt die Häufungspunkte von komplexen Folgen bestimmt. Also zB an folgenden Beispielen: (a_n) = [(5+2i)/(3+4i)]^n (b_n) = (2^n)/n! + i(n/2^n) für alle n ele N Also zur ersten Folge: (a_n) = [(5+2i)/(3+4i)]^n = [(5+2i)(3-4i)/(3+4i)(3-4i)]^n = [(5+2i)/25]^n = [1/5 + i(2/25)]^n ist der Ansatz soweit richtig??? Und welche Teilfolgen muss ich jetzt betrachten? Zur zweiten Folge finde ich leider keinen Ansatz:( Naja zu der folgenden Reihe soll ich den Wert ausrechnen: Summe[k=2..unendlich](1/(9k^2-3k-2)) naja Danke im Vorraus LG Nina |
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Hallo, zu (a_n): Die erste Zeile ist korrekt, der Schritt in die zweite Zeile ist aber schiefgegangen, da ist im Zähler der Faktor (3-4i) verlorengegangen. Korrekt müte es heißen: = [(23-14i)/25]^n = [23/25 - i(14/25)]^n Bei Potenzreihen würde ich immer Polarkoordinaten (r,phi) empfehlen. Der Abstand ist dann ein Skalar und die Winkel werden "nur" verfielfacht. Das erleichtert das Ermitteln von Häufungspunkten. Ermittelt man hier r und phi, so erhält man ein r, das größer 1 ist. Damit kann es keine Häufungspunkte geben, da r^n über alle Schranken wächst und keine Häufungspunkte hat. zu (b_n): Für Häufungspunkte in der komplexen Ebene gilt, daß sowohl der Realteil einen Häufungspunkt hat, als auch der Imaginärteil (notwendige Bedingung, nicht hinreichend, dafür gibt es Gegenbeispiele). Beide (Teil-)Folgen haben den Häufungspunkt 0, der Grenzwert für n->oo ist. Damit ist 0 (komplexe Null) Grenzwert von (b_n). zu Summe[k=2..unendlich](1/(9k^2-3k-2)): Zunächst ist einmal 9*k^2-3*k-2=(3*k-1)*(3*k+2). Damit kann man zeigen (vollständige Induktion), daß Summe[k=2..n](1/(9k^2-3k-2)) = (n-1)/(12*n+4) ist und damit ist Summe[k=2..unendlich](1/(9k^2-3k-2)) = lim(n->oo)(Summe[k=2..n](1/(9k^2-3k-2))) = lim(n->oo)((n-1)/(12*n+4)) = 1/12 |
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Ich danke dir vielmals!!! Doch ich habe immer noch zwei Fragen, des besseren Verständnis wegen ^^ Also das mit den Polarkoordinaten hatten wir noch nciht durchgenommen, also glaub ich auch nicht, dass wir es verwenden sollen. Gibt es da keine andere Regel für, um die HP zu bestimmen? Und zu den Reihen, wie kommst du auf diese eine Gleichheit, dass man das mit Induktion zeigen kann, stimmt, aber wie kommt man auf solche Therme, damit ich in Zukunft darauf gefasst bin! Danke nochmal!!! LG Nina |
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Hi Ich habe fast die selbe Aufgabe, um ehrlich zu sein ist es die selbe nur mit Zähler und Nenner vertauscht, also (a_n) = [(3+4i)/(5+2i)]^n Da sollte es doch eigentlich den selben Lösungsweg dazu geben, denn ich komme leider auch nicht damit zurecht:( Wegen der Imaginären Einheit habe ich mir überlegt die Teilfolgen (4n+1),(4n+2),(4n+3)und(4n+4) für alle n ele (N U {0}) anzuschauen, aber der Realteilt hindert irgendwie daran, dass ich etwas vernünftiges daraus ablesen kann...also hoffe hier findet jemand eine Lösung zu Danke an alle mfg Julia |
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Hallo, "Also das mit den Polarkoordinaten hatten wir noch nciht durchgenommen, also glaub ich auch nicht, dass wir es verwenden sollen." Braucht man auch nicht, die vollständige (exakte) Umrechnung in Polarkoordinaten kann man sich schenken, da nur das "r" gebraucht wird. Das "r" ist der Abstand vom komplexen Nullpunkt, also nichts anderes als der Betrag. Das solltet ihr für komplexe Zahlen bereits gehabt haben. Bei Deiner Folge hat der Betrag einen Wert größer als 1, damit wächst die Folge unbegrenzt, denn für komplexe Zahlen gilt: |(a+bi)^n|=|(a+bi)|^n "Und zu den Reihen, wie kommst du auf diese eine Gleichheit, dass man das mit Induktion zeigen kann, stimmt, aber wie kommt man auf solche Therme, damit ich in Zukunft darauf gefasst bin!" Da gibt es viele Wege, da muß jeder für sich seinen Weg finden. Ich mache es so, daß ich mir zunächst mal die ersten paar Summanden ausgerechnet habe (genau 3 Stück: k=2, 3, 4). Da konnte ich dann schon sehen (1/28, 1/70, 1/130), daß in "benachbarten" Summanden im Nenner einer der Faktoren gleich ist. Bei k=2 und k=3 ist das die 7 und bei k=3 und k=4 ist das die 10. Ich erhalte also 1/(4*7), 1/(7*10) und 1/(10*13). Nächster Verdacht, der zweite Faktor ist immer 3 größer als der erste und der erste Faktor bildet eine Zahlenfolge, dessen allgemeines Glied es zu ermitteln gilt. Da die Folge der erste Faktoren (4, 7, 10) eine arithmetische Folge bildet, gibt es für Folgen, die bei k=0 starten eine explizite Vorschrift: b_k=a_0+k*d (d=Differenz=3). Unsere Folge startet erst bei k=2, also: b_k=b_2+(k-2)*3 mit b_2=4 b_k=4+3*k-6=3*k-2 Damit habe ich für a_k=1/(b_k*(b_k+3))=1/((3*k-2)*(3*k-2+3))=1/((3*k-2)*(3*k+1)) Die Probe (ausrechnen) bestätigt das Ergebnis. Was ist denn die Summenfolge anderes als eine Zahlenfolge, also gehe ich genauso ran. Erste 3 Summanden ermitteln und feststellen, daß die einem ähnlichen Algorithmus unterliegen: 1/28=1/(4*7), 2/40=2/(4*10), 3/52=3/(4*13) Die konkreten Zahlen mit k ersetzen und schon kat man: (k-1)/(4*(3*k+1))=(k-1)/(12*k+4) Nun zu Julia: Du hast den reziproken Ausgangswert, d.h. wenn Du den selben Weg gehst (erweitern mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners), erhältst Du eine andere Zwischenlösung, die aber wiederum der reziproke Wert zu dem von Nina ist. Die Konsequenz daraus ist aber, daß der Betrag Deiner Zahl natürlich ebenfalls reziprok zu dem von Nina ist. Ist ihr Betrag größer als 1, ist Deiner natürlich kleiner als 1. Deine Folge konvergiert damit Betragsmäßig gegen Null und damit konvergiert sie auch selbst gegen die komplexe Null. Weitere Häufungspunkte gibt es nicht. |
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Naja das mit dem Betrag hatten wir, doch muss man das doch Begründen, dass wenn der Die Folge nicht Absolut konvergent ist, sie auch nicht konvergent ist. Denn wie gesagt, Die Begründung mit den Beträgen hatten wir nicht LG Nina |
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An Sven: Ich bin die Induktion durchgegangen und dein Ergebnis stimmt nciht... LG Nina |
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Hallo, zunächst: (3*k-2)*(3*k+1)=9*k^2+3*k-6*k-2=9*k^2-3*k-2 n=2: Summe[k=2..n](1/(9k^2-3k-2)) = Summe[k=2..2](1/(9k^2-3k-2)) = 1/(9*2^2-3*2-2) = 1/((3*2-2)*(3*2+1)) = 1/(4*7) = 1/28 (n-1)/(12*n+4) = (2-1)(12*2+4) = 1/(24+4) = 1/28 Summe[k=2..(n+1)](1/(9k^2-3k-2)) = Summe[k=2..n](1/(9k^2-3k-2)) + 1/(9*(n+1)^2-3*(n+1)-2) = (n-1)/(12*n+4) + 1/((3*(n+1)-2)*(3*(n+1+1))) = (n-1)/(4*(3*n+1)) + 1/((3*n+3-2)*(3*n+3+1)) = (n-1)/(4*(3*n+1)) + 1/((3*n+1)*(3*n+4)) = ((n-1)*(3*n+4))/(4*(3*n+1)*(3*n+4)) + 4/(4*(3*n+1)*(3*n+4)) = ((n-1)*(3*n+4)+4)/(4*(3*n+1)*(3*n+4)) = (3*n^2+4*n-3*n-4+4)/(4*(3*n+1)*(3*n+4)) = (3*n^2+n)/(4*(3*n+1)*(3*n+4)) = (n*(3*n+1))/(4*(3*n+1)*(3*n+4)) = n/(4*(3*n+4)) = (n+1-1)/(4*(3*n+3+1)) = ((n+1)-1)/(4*(3*(n+1)+1)) = ((n+1)-1)/(12*(n+1)+4) Sorry, aber Du hast Dich verrechnet! Meine Summenformel stimmt! |
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Hallo deine Summenformel stimmt tatsächlich! etwas scheint aber trotzdem nicht zu stimmen, nämlich deine Faktorzerlegung. Du schreibst: 9*k^2-3*k-2=(3*k-1)*(3*k+2). Richtig ist aber: 9*k^2-3*k-2=(3*k+1)*(3*k-2). Mit der Zerlegung: 1/9*k^2-3*k-2 = 1/(3*k+1)*(3*k-2) = 1/(9k-6)-1/(9k+3) erhält man für die ersten Glieder: 1/12 - 1/21+1/21 - 1/30+1/30 - 1/39...... Die beiden Brüche, die ich zusammen geschrieben habe, ergeben immer die Summe Null. (Das ist leicht allgemein zu zeigen, indem du beim ersten Bruch 1/(9k-6) einfach für k den Ausdruck (k+1) einsetzt) Wenn man k von 2 bis n laufen lässt, hat man 1/12 - 1/(9n+3), was ausgerechnet gerade die weiter oben duch Sven angegebene Summenformel ergibt. Viele Wege führen nach Rom.. Somit strebt die Summe gegen 1/12, wie bereits oben gezeigt (weil 1/(9n+3) gegen Null strebt). Gruss Paul |
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Danke Danke^^ Ich bin auf einem anderen Weg draufgekommen in dem ich die PArtialsummen soweit vereinfacht habe bis 1/3(1/4 -1/(3n+2)) übrig blieb...naja wenn n->00 geht dan geht der Term ja auch gegen 1/12 Danke vielmals! LG Nina |
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