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Reihenentwicklungen von e-Funktionen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Funktionenreihen

Tags: Folgen und Reihen, Funktionenreihen

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22:51 Uhr, 22.01.2016

Hallo zusammen,

der momentane Übungszettel ist etwas sperrig, da kommt übers Wochenende sicher noch die ein- oder andere Frage von mir :-D)

Zunächst einmal bin ich mir bei folgender Aufgabe nicht so richtig sicher, inwiefern ich da auf dem richtigen Weg bin:

Finden Sie die Reihenentwicklungen der folgenden Funktionen:

a) e^{2 x}

b) x e^{x}

c) \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}

d) \frac{e^{x}}{1 - x}

Bisher habe ich folgendes dazu:

Zunächst kann ich generell über die Definition

e^{z} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n}!

die ganzen

e' s

umformen

a)

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{2 x^{n}}{n}!

ist das nicht im Grunde schon die Reihenentwicklung? Oder was muss ich genau zeigen?

b)

x \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}!

c)

ich forme um in

\frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{2 e^{x}}

\Rightarrow \frac{\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}!}{2} + \frac{1}{2 \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}!}

Kann ich hier mit der Summe

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}!

erweitern? Wenn ja:

\frac{{(\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}!)}^{2}}{2 \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}!}

= \frac{1}{2} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}!

d) \frac{1}{1 - x} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}!

Wie kann ich hier noch weitermachen?

Soweit meine Ansätze, wäre dankbar für den einen oder anderen Stupser :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Respon

23:01 Uhr, 22.01.2016

a)

Entweder einklammern oder Potenzen trennen.
Und im Nenner

n!

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23:09 Uhr, 22.01.2016

Oh ja, das war in diesem Fall nur ein Formatierungsfehler, natürlich sollen alle Ausrufezeichen in den Nenner

: (

Leider kann ich das nicht mehr bearbeiten

: (

Aber ansonsten ist

a)

also mit

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(2 x)}^{n}}{n!}

schon gelöst?

Respon

23:17 Uhr, 22.01.2016

Ja.

b)

Eine Taylorreihe fängt

i . d . R

. mit dem Summenzeichen an.

x

also nach dem Summenzeichen einfügen.

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00:05 Uhr, 23.01.2016

Aber das

x

vor dem

e^{x}

ist doch in diesem Fall gar nicht Teil der Summe, oder doch?

Wie sieht es bei der

c)

aus? Da ich den Erweiterungstrick immer vergesse, fänd ich es hier besonders cool, wenn das hier klappen würde :-D)

Respon

00:14 Uhr, 23.01.2016

Die Funktion ist

f (x) = x \cdot e^{x}

Und DAVON soll die Taylorreihe gebildet werden.

x + x^{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{4}}{6} + \frac{x^{5}}{24} + ... = \sum . .

\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} = cosh (x)

Die Reihenentwicklung von

cosh (x)

ist bekannt.

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13:16 Uhr, 23.01.2016

Vermutlich habe ich einfach mit dem Begriff der Reihenentwicklung noch so meine Probleme, zumal dieser Begriff bishlang weder in der Vorlesung noch im Skript vorgekommen ist :-)

Taylorreihen hatten wir bisher nur ziemlich kurz in einer völlig anderen Vorlesung, in der "richtigen" Mathevorlesung sind die eigentlich noch gar nicht bekannt :-D)

Auch die Hyperbolischen Funktionen sind bisher noch unbekannt.

Daher vielleicht hier schon fast eher die Frage: "Was genau will die Aufgabenstellung eigentlich von mir? :-D) "

Respon

13:20 Uhr, 23.01.2016

Hast du die Originalaufgabenstellung ?

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13:21 Uhr, 23.01.2016

Die steht oben Wort für Wort :-)

Respon

13:27 Uhr, 23.01.2016

Unter "Reihenentwicklung" versteht man

i . d . R

. die Taylorreihe ( bei beliebigen Entwicklungspunkt ) oder Maclaurinsche Reihe ( Entwicklungspunkt

0)

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13:44 Uhr, 23.01.2016

Hm ok, allerdings habe ich ja hier keinerlei Entwicklungspunkt.

Angenommen, ich stelle einfach aus den ersten Gliedern der Summe eine "kompaktere" Vorschrift auf:

a)

ist klar

b) x e^{x}

wäre dann also

\sum_{n = 0}^{\infty} x \frac{x^{n}}{n!} = x + x^{2} + \frac{x^{4}}{6} + \frac{x^{5}}{24} . .

= \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n + 1}}{n!}

c)

Hier hätte ich dann

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{2} (\frac{x^{n}}{n!} + \frac{{(- x)}^{n}}{n!}) = 1 + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{6} + \frac{x^{6}}{180} . .

. das kommt aber mit der Reihe des

cosh,

die ich gefunden habe, nicht wirklich hin

: (

d) \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{1 - x} \frac{x^{n}}{n!} = \frac{1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x} + \frac{x^{2}}{2 (1 - x)} + \frac{x^{3}}{3 (1 - x)} . .

= \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n! (1 - x)}

Respon

13:48 Uhr, 23.01.2016

c)

sollte noch überarbeitet werden.

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13:52 Uhr, 23.01.2016

Ah, Moment, ich hab's, bei geraden Exponenten kann ich das ganze ja auch immer als

z . b

(\frac{1}{2}) \frac{2 \cdot x^{4}}{24}

schreiben, sodass nur noch

\frac{x^{4}}{24}

stehen bleibt usw. :-D) Dann komm ich doch auf die

cosh

Reihe raus :-)

Respon

13:52 Uhr, 23.01.2016

Zur Kontrolle
http//www.wolframalpha.com/input/?i=series+cosh%28x%29

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14:01 Uhr, 23.01.2016

Ja, so passt das :-)

Muss eine so gefundene Reihenentwicklung danach noch mittels Induktion bewiesen werden? Wenn ja, kann ich da so argumentieren (am Beispiel