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Reihenfolge Wahrscheinlichkeit

Universität / Fachhochschule

Tags: Wahrscheinlichkeit

yellowman

18:46 Uhr, 04.03.2021

Hallo zusammen, ich habe die Aufgabe:

Fünf verschieden große Personen stellen sich zufällig in einer Reihe hintereinander auf. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass keine drei Personen in aufsteigender Größe direkt hintereinander stehen.

Hier muss irgendwie mit der Siebformel gearbeitet werden. Ich bin allerdings ziemlich überfragt wie ich das hier anwenden soll. Kann jemand helfen?

Lieben Dank :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

20:38 Uhr, 04.03.2021

Hallo,

fünf paarweise verschieden längliche Leute seien es also.
Bevor ich mir einen Ast ab erkläre, präsentiere
ich einfach mein Ergebnis.
Sollte es jemand verifizieren, kann ich es gerne
erläutern und sollte es falsch sein, erübrigt sich
das ja eh...

\frac{5! - (1 + 8 + \frac{4 \cdot 3}{2} \cdot 2 \cdot 2 + \frac{3 \cdot 2}{2} \cdot 2)}{5!} = \frac{120 - 39}{120} = \frac{81}{120} = 67,5 %

HAL9000

21:44 Uhr, 04.03.2021

Einige Mengenbezeichnungen:

Ω

... Menge aller 5er-Permutationen

π

A_{k}

... Menge der 5er-Permutationen

π

mit

π_{k} < π_{k + 1} < π_{k + 2}

Dann ist

∣ Ω ∣ = 5! = 120

sowie

∣ A_{k} ∣ = (\begin{array}{c} 5 \\ 3 \end{array}) \cdot 2! = 20

, außerdem

∣ A_{1} \cap A_{2} ∣ = ∣ A_{2} \cap A_{3} ∣ = (\begin{array}{c} 5 \\ 4 \end{array}) \cdot 1! = 5

∣ A_{1} \cap A_{3} ∣ = ∣ A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} ∣ = (\begin{array}{c} 5 \\ 5 \end{array}) = 1

Damit ist laut Siebformel

Ω \ (A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}) = 120 - 3 \cdot 20 + 5 + 5 + 1 - 1 = 70

und damit die gesuchte Wahrscheinlichkeit gleich

\frac{70}{120} = \frac{7}{12} \approx 58.33 %

anonymous

22:49 Uhr, 04.03.2021

Hallo HAL,

ein von mir hastig programmierter
rekursiver Erbsenzählalgorithmus
bestägt die

50

Treffer unter den

120

Permutationen. Im angehängten
Bild sind das die dunkelgrau
hinterlegten Permutationen,
wobei die Personen bzw. deren Größe durch
die Natürlichen von 0 bis 4 einschließlich
repräsentiert werden.
Jetzt muss ich nur noch die Formeln
verstehen, wobei ich die Sylvestersche
Siebformel bereits kenne, aber...

anonymous

23:49 Uhr, 04.03.2021

Ah, jetzt hab ich alles auf dem Schirm.
Die Siebformel sei klar.
Stehen alle Fünfe aufsteigend sortiert,
kann ich drei auswählen und die anderen
zwei links oder rechts oder links
und rechts der drei situieren,
das sind die je

(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) \cdot 2

Möglichkeiten
für

A_{1}, A_{2}

und

A_{3}

.
Analog dazu kann ich vier auswählen und den
fünften links oder rechts daneben stellen,
macht je

(\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix})

Möglichkeiten für

A_{1} \cap A_{2}

bzw.

A_{2} \cap A_{3},

die ja eine Viererreihe aufweisen
müssen.

A_{1} \cap A_{3}

ist nun logischerweise die
einzige Fünferreihe und nun Froien !
Danke für diese Hirnmassage am frühen Abend !

anonymous

01:17 Uhr, 05.03.2021

Hier noch ein Induktionsbeweis der Siebformel...

HAL9000

16:05 Uhr, 05.03.2021

@Eduard von Nordstadt-Süd

Ja, genauso war das mit den Durchschnitten gedacht - gute Erläuterungen zu der Berechnung. Hoffentlich hat sich das gelohnt, d.h., dass sich yellowman nochmal blicken lässt.

anonymous

17:22 Uhr, 05.03.2021

Für mich hat es sich auf jeden Fall schon gelohnt.
Wiederholung, Übung, Erfahrung usw. - jetzt kenne
ich

z . B

. eine prima Anwendung der Siebformel !
Danke !

HAL9000

09:05 Uhr, 06.03.2021

> dass sich yellowman nochmal blicken lässt.

Sieht nicht so aus: Er eröffnet zwar neue Threads, kümmert sich aber nicht um den hier. Gut zu wissen.

yellowman

10:35 Uhr, 06.03.2021

Hallo Hal und danke für deine Hilfe. Ich habe nicht aus nichtinteresse nicht geantwortet sondern weil ich darüber nachdenken musste. So ganz habe ich es nämlich immer noch nicht verstanden. Meine Gedanken dazu sind erstmal:

P (1, 2 o d e r 3 s t e h e n i n a u f s t e i g e n d e r R e i h e n f o l g e) = P (A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3})

= P (A_{1}) + P (A_{2}) + P (A_{3}) - P (A_{1} \cap A_{2}) - P (A_{1} \cap A_{3}) - P (A_{2} \cap A_{3})

P (A_{1}) = \frac{4! ((\binom{5}{4}))}{5!} = \frac{120}{5!} = P (A_{2}) = P (A_{1})

P (A_{1} \cap A_{2}) = \frac{3! ((\binom{5}{3}))}{5!} = \frac{60}{5!} = P (A_{1} \cap A_{3}) = P (A_{2} \cap A_{3})

P (A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}) = \frac{2! ((\binom{5}{2}))}{5!} = \frac{20}{5!}

Das waren meine Gedanken, ich habe deinen Rechenweg allerdings noch nicht verstanden. Deshalb habe ich noch nicht geantwortet.

Liebe Grüße :-)

HAL9000

12:26 Uhr, 06.03.2021

> 1,2 oder 3 stehen in aufsteigender Reihenfolge

Wie kann ein einzelner Wert in "aufsteigender Reihenfolge" stehen??? Versteh ich nicht, genausowenig wie deine Rechnungen: Es ist

\frac{4! (\begin{array}{c} 5 \\ 4 \end{array})}{5!} = 1

, was soll das?

anonymous

16:40 Uhr, 06.03.2021

yellowman,

das

k

bei

A_{k}

bedeutet nicht, wieviele in
einer aufsteigenden Folge stehen, sondern
"ab wo" und es sind für alle

k

immer wenigstens
Dreie, Beispiel:

(1,2,3,5,4) \in A_{1}

und auch

\in A_{2},

aber

\notin A_{3}

(4,2,3,5,1) \in A_{2},

aber

\notin A_{1}

und auch

\notin A_{3}

.

Da also

A_{k} \cap A_{l} \neq \emptyset,

braucht man die Siebformel.

anonymous

17:11 Uhr, 06.03.2021

Hier ein "How to A_1" -
wie die anderen gehen,
ist dann auch nicht mehr weit,
so als mentale Wegstrecke gesehen...

yellowman

17:57 Uhr, 06.03.2021

Vielen Dank Eduard, solangsam macht es klick! Für die

A_{1}

bis

A_{3}

habe ich es jetzt verstanden. Wenn

A_{1} \cap A_{2}

kann man die beiden ja entweder nur am Anfang oder am Ende rausnehmen. Sind das dann nicht auch 2 Möglichkeiten? Das müsste doch dann

((\binom{5}{1})) \cdot 2!

sein?

Hoffentlich kannst du nochmal helfen. Liebe Grüße! :-)

anonymous

19:45 Uhr, 06.03.2021

Ein Element von

A_{1} \cap A_{2}

muss eine Viererreihe enthalten,

nämlich eine Reihe über die Posten 1 bis

3,

damit es Element von

A_{1}

ist,
und eine Reihe über die Posten 2 bis

4,

damit es Element von

A_{2}

ist,
insgesamt also eine Reihe über die Posten 1 bis 4.

Analog zum Backrezept von

A_{1}

kann man das so erklären:

Aus

(1, 2, 3, 4, 5)

Einen rausnehmen, Rest aufrücken.
Das sind

(\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix}) = \frac{5!}{4! \cdot 1!} = 5

Möglichkeiten,

z . B

(1, 2, 4, 5) (3)

.
Den Einen wieder rechts dazustellen,

(1, 2, 4, 5, 3),

das ist eine Möglichkeit.
Bei dem Beispiel hast du jetzt
auf den Posten 1 bis 3 die Reihe

1, 2, 4

und
auf den Posten 2 bis 4 die Reihe

2, 4, 5,

insgesamt ist also

(1,2,4,5,3) \in A_{1} \cap A_{2}

und es gilt

| A_{1} \cap A_{2} | = 5

.

Nun eine Quizfrage an Dich:

Was ist an

A_{1} \cap A_{3}

anders als an

A_{1} \cap A_{2}

und

A_{2} \cap A_{3},

bzw. warum gilt

| A_{1} \cap A_{3} | = 1 \neq 5 = | A_{1} \cap A_{2} | = | A_{2} \cap A_{3} |

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