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Reihensumme mit alternierenden Vorzeichen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: alternierende Vorzeichen, Folgen und Reihen, Reihensumme

1pluseisist1eis aktiv_icon

16:02 Uhr, 20.11.2023

Hi ich komme bei der Aufgabe auf dem Bild nicht weiter, kennt sich damit vielleicht jemand aus? Würde mich sehr freuen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Sukomaki aktiv_icon

16:09 Uhr, 20.11.2023

Hallo,

splitte Deine Summe auf in Untersummen mit geradem und ungeradem Index!

Diese Teilsummen kannst Du dann als geometrische Reihen berechnen.

Sukomaki

Sukomaki aktiv_icon

16:16 Uhr, 20.11.2023

Das Minus in

{(- \frac{1}{3})}^{k}

ist eigentlich überflüssig, weil

k

immer gerade ist.

1pluseisist1eis aktiv_icon

16:41 Uhr, 20.11.2023

Danke für die schnelle Antwort:-) könnte ich dann die Summe von 1 bis unendlich von

{(\frac{1}{3})}^{2 k + k}

nehmen und die Summe von 1 oder 2 bis unendlich von

{(- \frac{1}{2})}^{2 k}

? Ich wüsste nicht, wie man sonst die Indexe verschieben könnte.

Sukomaki aktiv_icon

16:50 Uhr, 20.11.2023

Ein guter Ansatz.

{(\frac{1}{3})}^{2 k + k}

ist falsch, weil

2 k + k = 3 k

gäbe.

Genau genommen nimmst Du

{(\frac{1}{3})}^{2 k}

und

{(- \frac{1}{2})}^{2 k - 1}

wobei

k \geq 1

.

Letzteres kannst Du auch schreiben als

- 2 \cdot {(\frac{1}{2})}^{2 k}

.

Das könnte die geometrische Reihe dann etwas einfacher zu rechnen machen.

1pluseisist1eis aktiv_icon

17:15 Uhr, 20.11.2023

Also ich habe jetzt als Zwischenergebnisse für die Summe von 1 bis unendlich von

{(\frac{1}{3})}^{2 k}

den Faktor

\frac{1}{9}

vor die Summe gezogen und dann bei der Summe

\frac{3}{2}

herausbekommen mit

\frac{1}{1 - \frac{1}{3}},

mit

\frac{1}{9}

würde das ja dann

\frac{1}{6}

ergeben und dann dazu den Faktor

- \frac{2}{4}

vor die Summe von

{(\frac{1}{2})}^{k}

gezogen, wo ich dann mit

\frac{1}{1 - \frac{1}{2}} 2

als Ergebnis und mit dem Faktor dann

- 1

herausbekommen habe und das hab ich dann addiert und

- \frac{5}{6}

herausbekommen. Kann das hinkommen?

Roman-22

19:10 Uhr, 20.11.2023

Warum rechnest du mit dem Quotienten

\frac{1}{3},

wenn du doch offenbar schon erkannt hast, dass der Faktor um auf das nächste Glied zu kommen

\frac{1}{9}

ist. Schließlich ist doch

{(\frac{1}{3})}^{2 k} = {(\frac{1}{9})}^{k}

und daher

\sum_{k = 1}^{\infty} {(\frac{1}{3})}^{2 k} = \sum_{k = 1}^{\infty} {(\frac{1}{9})}^{k} = \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{1}{8}

.

Ähnlich mit

{(- \frac{1}{2})}^{2 k - 1} = - 2 \cdot {(\frac{1}{4})}^{k}

Sukomaki aktiv_icon

19:13 Uhr, 20.11.2023

> Also ich habe jetzt als Zwischenergebnisse für die Summe von 1 bis unendlich
> von

{(\frac{1}{3})}^{2 k}

den Faktor

\frac{1}{9}

vor die Summe gezogen.

Dadurch wird aus

\sum_{k = 1}^{\infty} {(\frac{1}{3})}^{2 k}

jedoch (was die weitere Rechnung nur erschweren würde)

\frac{1}{9} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} {(\frac{1}{3})}^{2 k - 2}

und nicht

\frac{1}{9} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} {(\frac{1}{3})}^{k}

wie Du vielleicht vermutet hast.

Korrekterweise schreibst Du

{(\frac{1}{3})}^{2 k}

als

{({(\frac{1}{3})}^{2})}^{k} {(\frac{1}{3^{2}})}^{k} = {(\frac{1}{9})}^{k}

und erhältst damit die Summe

\sum_{k = 1}^{\infty} {(\frac{1}{9})}^{k}

.

Da

\sum_{k = 0}^{\infty} q^{k} = \frac{1}{1 - q}

, müssen wir beim Berechnen von

\sum_{k = 1}^{\infty} q^{k}

das erste Glied (

q^{0} = 1

) abziehen,

erhalten also

\frac{1}{1 - q} - 1

.

Somit ist

\sum_{k = 1}^{\infty} {(\frac{1}{9})}^{k} = \frac{1}{1 - \frac{1}{9}} - 1 = \frac{1}{\frac{9 - 1}{9}} - 1 = \frac{9}{8} - 1 = \frac{1}{8}

Die Berechnung von

\sum_{k = 1}^{\infty} (- 2) \cdot {(\frac{1}{2})}^{2 k}

bekommst Du sicher jetzt alleine hin.

(Ansatz :

- 2

aus der Summe ziehen)

1pluseisist1eis aktiv_icon

20:57 Uhr, 20.11.2023

Dankeschön:-) das Ganze macht jetzt viel mehr Sinn

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