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Reihenwert berechnen

Universität / Fachhochschule

Tags: Reihenwert Doppelsumme

Haseandreas aktiv_icon

21:40 Uhr, 17.02.2022

Guten Abend, Ich möchte den Reihenwert in unten anhängendem Dokument ausrechnen. Ich habe mit der Vereinfachung begonnen, komme nun aber nicht weiter. Ich weiß, dass der Reihenwert

\frac{e^{x}}{1 - x^{2}}

sein soll.
Bin ich auf dem richtigen Weg und wie komme ich weiter?
Danke für eure Hilfe
Haseandreas

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

DrBoogie aktiv_icon

21:54 Uhr, 17.02.2022

Eigentlich musst hier nichts berechnen.
Du weißt, dass

e^{x} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}

ist und

\frac{1}{1 - x^{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} x^{2 n}

.
Und wenn du jetzt die Formel für Cauchy-Produkt

e^{x} \cdot \frac{1}{1 - x^{2}}

aufschreibst, bekommst du genau deine Ausgangsreihe.

Haseandreas aktiv_icon

21:58 Uhr, 17.02.2022

Das ist ja genial. Wie komme ich auf diese Formel für den Reihenwert

\frac{1}{1 - x^{2}}

?
LG
Haseandreas

DrBoogie aktiv_icon

22:19 Uhr, 17.02.2022

Geometrische Reihe:
de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

Haseandreas aktiv_icon

22:34 Uhr, 17.02.2022

Dabei habe ich noch einen Denkfehler. Der Reihenwert Summe von 0 bis unendlich von

{(- 1)}^{n} \cdot x^{2 n}

ist gleich dem Reihenwert Summe von 0 bis unendlich von

{((- 1) x^{2})}^{n}

. Mit dem Reihenwert für die geometrische Folge komme ich auf

- (\frac{1}{1 - x^{2}}) -

welchen Denkfehler habe ich, der mich zu dem minus vor der Klammer führt?
Danke und vG
Haseandreas

Haseandreas aktiv_icon

23:05 Uhr, 17.02.2022

Auch mit dem Cauchy-Produkt ist es wie verflixt. Ich komme nicht auf die gewünschte Form der Doppelsumme.
Kannst du mir bitte zeigen, wie du umformst?
VG
Haseandreas

Kartoffelchipsman aktiv_icon

00:57 Uhr, 18.02.2022

Wir nehmen

e^{x} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}

und die geometrische Reihe

\frac{1}{1 - x^{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(x^{2})}^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} x^{2 \cdot n} \forall x \in (- 1,1)

(und nicht

\frac{1}{1 + x^{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- x^{2})}^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} \cdot x^{2 \cdot n} \forall x \in (- 1,1)

wie oben).

Für das Cauchy-Produkt trimmen wir die geometrische Reihe noch ein wenig.

\frac{1}{1 - x^{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty} x^{2 \cdot n} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1 + {(- 1)}^{n}}{2} \cdot x^{n}

(Man kann jeweils die ersten paar Summanden hinschreiben,
um die Gleichheit zu sehen).

Wir haben also

e^{x} = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} \cdot x^{n}

mit

a_{n} = \frac{1}{n!}

und

\frac{1}{1 - x^{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty} b_{n} \cdot x^{n}

mit

b_{n} = \frac{1 + {(- 1)}^{n}}{2}

.

Das Cauchy-Produkt ist nun

e^{x} \cdot \frac{1}{1 - x^{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty} \cdot (\sum_{k = 0}^{n} a_{k} \cdot b_{n - k}) \cdot x^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} \cdot (\sum_{k = 0}^{n} \frac{1 + {(- 1)}^{k}}{2} \cdot \frac{1}{(n - k)!}) \cdot x^{n}

DrBoogie aktiv_icon

08:19 Uhr, 18.02.2022

Denkfehler hatte ich. :-)
Danke an Vlad für die Korrektur!

Haseandreas aktiv_icon

09:59 Uhr, 18.02.2022

Ganz lieben Dank. Ich habe noch die Reihenfolge der beiden Faktoren vertauscht, damit alles stimmig mit dem Produkt ist.
Einen schönen Tag wünscht dankbar
Haseandreas

HAL9000

11:31 Uhr, 18.02.2022

Auch wenn man anfänglich den Reihenwert noch gar nicht kennt, kommt man durch Rechnung zum Endresultat. Und zwar indem man die Summationsreihenfolge vertauscht (was wegen absoluter Konvergenz für

∣ x ∣ < 1

auch gerechtfertigt ist), d.h.

\sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{n} (\dots) = \sum_{k = 0}^{\infty} \sum_{n = k}^{\infty} (\dots)

und das dann konsequent durchzieht:

\sum_{n = 0}^{\infty} (\sum_{k = 0}^{n} \frac{1 + (- 1)^{k}}{2} \cdot \frac{1}{(n - k)!}) \cdot x^{n} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1 + (- 1)^{k}}{2} \cdot x^{k} \cdot \sum_{n = k}^{\infty} \frac{x^{n - k}}{(n - k)!}

= \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^{k} + (- x)^{k}}{2} \cdot e^{x} = \frac{e^{x}}{2} (\frac{1}{1 - x} + \frac{1}{1 + x}) = \frac{e^{x}}{1 - x^{2}}

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