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Rekonstruktion einer Diff'gleichung aus der Lösung

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Fundamentalbasis, Gewöhnliche Differentialgleichungen, homogene Differentialgleichung dritter Ordnung

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sventja

13:16 Uhr, 27.11.2011

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Hallo!
ICh weiß nicht, wie ich bei folgender Aufgabe vorgehn soll:

"Zeigen Sie, dass die Funktionen

x_{1} = t, x_{2} = t^{2}

und

x_{3} = e^{t}

eine Fundamentalbasis einer homogenen Differentialgleichung 3.Ordnung bilden. Rekonstruieren Sie die Differentialgleichung."

Die Lösungen bilden doch eine Fundamentalbasis, wenn die Wronski-Determinanten ungleich null ist. Für die Wronski-Det. hab ich aber

(t^{2} - 2 \cdot t + 2) \cdot e^{t}

e^{t}

ist zwar immer ungleich null, aber der Term in der Klammer kann doch null werden.

Und wie soll ich dann die Diff'gleichung rekonstruieren?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

Mathe-Steve

Mathe-Steve aktiv_icon

13:30 Uhr, 27.11.2011

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Hallo,

zunächst einmal kann t²-2t+2 nicht null werden - wie kommst Du darauf?

Betrachte dann die charakteristische Gleichung.

Die Lösungen der charakteristische Gleichung sind 0, 0 und 1. (ist Dir klar warum?)

Also ist die charakteristische Gleichung $λ^{2} \cdot (λ - 1) = 0$ bzw. ausmultipliziert $λ^{3} - λ^{2} = 0$ .

Damit steht aber auch die DGL schon da.

Gruß

Stephan

sventja

13:52 Uhr, 27.11.2011

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Hi! Danke für die schnelle Antwort!

Für die Nullstellen von

t^{2} - 2 t + 2

hab ich die beiden komplexen Lösungen

1 + i

und

1 - i

...oder gibts die garnicht, weil

t \in ℝ

ist?

Auf die Nullstellen der charakt. Gleichung kommst du, weil die Lösung

x (t) = c_{1} t + c_{2} t^{2} + c_{3} e^{t}

ist, und somit aus

x (t) = c_{1} t \cdot e^{λ \cdot t} + c_{2} t^{2} \cdot e^{λ \cdot t} + c_{3} \cdot e^{λ \cdot t}

folgt

λ_{1} = 0

(zweifach) und

λ_{2} = 1,

stimmts?
Nur: woher kommen dann

t

und

t^{2}

? Wir hattens so gelernt, dass bei n-fachen Nullstellen die Lösungen

e^{λ \cdot t}, t \cdot e^{λ \cdot t}, t^{2} \cdot e^{λ \cdot t}, ..., t^{n} \cdot e^{λ \cdot t}

gelten, da heißt, die Lösung müsste doch sein

x (t) = c_{1} + c_{2} t + c_{3} e^{t}

?

Antwort

Mathe-Steve

Mathe-Steve aktiv_icon

14:06 Uhr, 27.11.2011

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Ja, t ist reell.

Bei den Lösungen habe ich nicht aufgepasst, mein Vorschlag ist natürlich Unsinn, das ginge nur, wenn 1, t und e^t Lösungen wären.

Die Differentialgleichung kann keine konstanten Koeffizienten besitzen.

$y^{'''} + a y^{''} + b y^{'} + c y = 0 y = t : b + c t = 0 y = t^{2} : 2 a + 2 b t + c t^{2} = 0 y = e^{t} : 1 + a + b + c = 0$

Löse auf und erhalte:

$y^{'''} + \frac{- t^{2}}{t^{2} - 2 t + 2} y^{''} + \frac{2 t}{t^{2} - 2 t + 2} y^{'} + \frac{- 2}{t^{2} - 2 t + 2} y = 0$

Antwort

Mathe-Steve

Mathe-Steve aktiv_icon

15:51 Uhr, 27.11.2011

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So sollte es passen.

Frage beantwortet

sventja

17:48 Uhr, 27.11.2011

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Ok, super, alles klar! Vielen Dank!

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