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Rekonstruktion einer Funktionsschar?

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Funktionsschar, Rekonstruktion

bILLY4bOY aktiv_icon

09:53 Uhr, 29.12.2010

Hi alle,

Also ich soll eine ganzrationale Kurvenschar 4. Grades die im Ursprung einen Extrempunkt hat, symmetrisch zur y-Achse liegt, durch den Punkt A(t|-t^5+t^3+2*t^2)und die x-Achse in xn=Wurzel((t+2)/t) (teR+) bestimmen.

f (x) = a \cdot x^{4} + b \cdot x^{3} + c \cdot x^{2} + d \cdot x + e

I achsensymmetrisch

\to

ungerade Exponenten fallen weg
II

P (0 | 0) \to e = 0

III

- t^{5} + t^{3} + 2 \cdot t^{2} = a \cdot t^{4} + c \cdot t^{2}

0 = a \cdot {((\frac{\sqrt{t + 2}}{\sqrt{t}}))}^{4} + c \cdot ((\frac{\sqrt{t + 2}}{\sqrt{t}}))

Leider bekomme ich die Endgleichung nicht auf die Reihe.

Ich würde mich sehr freuen wenn ihr mir dabei helfen könntet!

mfg
bILLY4bOY

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pleindespoir aktiv_icon

14:42 Uhr, 29.12.2010

f (x) = a \cdot x^{4} + c \cdot x^{2}

III :

- t^{5} + t^{3} + 2 t^{2} = a \cdot t^{4} + c \cdot t^{2}

c \cdot t^{2} = - t^{5} - a \cdot t^{4} + t^{3} + 2 t^{2}

c = - t^{3} - a \cdot t^{2} + t + 2

---

IV :

0 = a \cdot (\sqrt{\frac{t + 2}{\sqrt{t}}})^{4} + c \cdot (\sqrt{\frac{t + 2}{\sqrt{t}}})^{2}

0 = a \cdot (\frac{t + 2}{t})^{2} + c \cdot (\frac{t + 2}{t})

0 = a \cdot (t + 2)^{2} + c \cdot (t + 2)

c \cdot (t + 2) = - a \cdot (t + 2)^{2}

c = - a \cdot (t + 2)

---

III = IV :

- t^{3} - a \cdot t^{2} + t + 2 = - a \cdot (t + 2)

- t^{3} - a \cdot t^{2} + t + 2 = - a \cdot t - 2 a

- t^{3} - a \cdot t^{2} + a \cdot t + 2 a + t + 2 = 0

- a \cdot t^{2} + a \cdot t + 2 a = t^{3} - t - 2

- a \cdot (t^{2} + t + 2) = t^{3} - t - 2

a = - \frac{t^{3} - t - 2}{t^{2} + t + 2}

---

vorbehaltlich Abschreibe- und sonstigen Schusselfehlern ... jedenfalls so im Prinzip ...

Bummerang

16:13 Uhr, 29.12.2010

Hallo,

Achsensymmetrisch:

f_{t} (x) = a \cdot x^{4} + b \cdot x^{2} + c

Ursprung ist Extrempunkt:

f_{t} (0) = 0 \Rightarrow c = 0; f_{t}' (0) = 0

gilt schon wegen der Achsensymmetrie!

A (t; - t^{5} + t^{3} + 2 \cdot t^{2})

x_{n} = \sqrt{\frac{t + 2}{t}}

0 = a \cdot {(\sqrt{\frac{t + 2}{t}})}^{4} + b \cdot {(\sqrt{\frac{t + 2}{t}})}^{2}

0 = a \cdot {(\frac{t + 2}{t})}^{2} + b \cdot \frac{t + 2}{t}; \frac{t + 2}{t} > 0,

t \in ℝ_{+}, d . h

. Division ist erlaubt!

0 = a \cdot \frac{t + 2}{t} + b

b = - a \cdot \frac{t + 2}{t}

- t^{5} + t^{3} + 2 \cdot t^{2} = f_{t} (t) = a \cdot t^{4} - a \cdot \frac{t + 2}{t} \cdot t^{2}

- t^{5} + t^{3} + 2 \cdot t^{2} = a \cdot t^{4} - a \cdot t^{2} - 2 \cdot a \cdot t

0 = t^{5} + a \cdot t^{4} - t^{3} - a \cdot t^{2} - 2 \cdot t^{2} - 2 \cdot a \cdot t

0 = (t + a) \cdot t^{4} - (t + a) \cdot t^{2} - 2 \cdot (t + a) \cdot t

0 = (t + a) \cdot (t^{4} - t^{2} - 2 \cdot t)

1. Lösung:

0 = t + a

a = - t \Rightarrow b = - (- t) \cdot \frac{t + 2}{t} = t + 2

weitere Lösungen:

0 = t^{4} - t^{2} - 2 \cdot t

Offensichtlich gibt es (mindestens) ein

t,

für das diese Anforderung erfüllt ist, unabhängig von der Wahl von

a,

denn hier gibt es keinen Zusammenhang mehr zwischen a und

t

. Dies bedeutet, dass es ein

t

gibt, für das A auf der Kurve liegt, egal wie a gewählt wird. Die Nullstelle liefert die Beziehung zwischen a und

b

. Man erhält sozusagen eine weitere Funktionenschar, die scheinbar allen Anforderungen genügt, aber dieser Schein trügt! Bei dieser Funktionenschar ist der Parameter a und

t

ist eine Konstante und A und

x_{n}

sind ebenfalls ein fester Punkt bzw. eine feste Stelle. Es gibt demzufolge keine weiteren Lösungen im Sinne der Aufgabe.

f_{t} (x) = - t \cdot x^{4} + (t + 2) \cdot x^{2}

@pleindespoir:
Dein (erster?) Fehler ist beim Übergang von

0 = a \cdot {(\frac{t + 2}{t})}^{2} + c \cdot (\frac{t + 2}{t})

0 = a \cdot {(t + 2)}^{2} + c \cdot (t + 2)

Wenn Du hier das

t^{2}

"rausmultiplizierst", dann bleibt bei

c

noch ein

t

stehen! Wenn Du nur

t

"rausmultiplizierst", dann bleibt bei a noch ein

t

im Nenner übrig!

pleindespoir aktiv_icon

16:47 Uhr, 29.12.2010

Danke für den Hinweis - mir kam das auch irgendwie schräg vor - naja dann braucht man ja nach weiteren Fehlern nicht mehr zu suchen ....

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