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Rekonstruktion von Funktionen
Schüler Gesamtschule, 11. Klassenstufe
Tags: Funktion 3. Grades, Rekonstruktion
 
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Hey ich hätte da folgendes Problem und zwar hat unser Mathelehrer uns mal wieder ne dolle Aufgabe übers Wochenende aufgegeben, die keiner ausm Kurs so richtig versteht, hier is sie: "Gesucht ist eine Funktion 3ten Grades mit den Nullstellen x=2 und x=6; Maximalstelle xE=2 und Minimalstelle xE=14/3 = 4,666..." so bisher haben wir so eine aufgabe schon ein zwei mal gemacht allerdings vom typ her war diese anders gestellt; und da unser thema nun mit verschiebung der funktionen zu tun hat hab ich schon mal das hier dazu aufegschrieben... f(x) = ax³+bx²+cx+d f'(x) = 3ax²+2bx+c f''(x) = 6ax+2b als nächstes hab ich mir die funktion skizziert um ein besseres bild davon zu bekommen und hab mir folgende eigenschaften dazu aufgeschrieben: 1) HP(2/0) -> f(2) = 8a+4b+2c+d 2) NS(2/0) -> f(2) = 8a+4b+2c+d 3) NS(6/0) -> f(6) = 216a+36b+6c+d 4) NS(2/0) -> f'(2) = 12a+4b+c danach dachte ich mir, nee so kommste nit weiter, also hab ich den graph der funktion nach oben verschoben, sodass die NS nun bei P(0/0) und P(4,666.../0) liegen, Hoch- und Tiefpunkte bleiben ja wie gehabt, allerdings weiß ich nun, dass der HP irgendwo bei (2/?) liegen muss und der TP bei (4,666.../0). Dazu schrieb ich mir folgende eigenschaften auf: 1) NS P(0/0) -> f(0) = 0 = f(0) = d=0 2) NS P(4,666.../0) -> f(4,666...) = 0 = f(4,666...) = 14/27a+1/5/9b+14/3c 3) TP P(4,666.../0) -> f'(4,666...)= 0 = f'(4,666...) = 4/2/3a+9/1/3b+c So ab jetzt dachte ich mir könnte ich ja schon was mit den letzten beiden gleichungenm evtl was anfangen, aber bei der 1ten ableitung da hab ich aj nix vor dem c stehen und langsam bin ich total verwirrt und ziemlich aufgeschmissen, ich hoffe dass irgendjemand mein wusel da versteht udn mir vll da irgendiw helfen kann mit! danke im voraus schon mal... |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: |
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Mmmmhhh... Also richtig ist wie du dir die f(x), f'(x) und f''(x) allgemein aufgeschrieben hast. Die Nullstellen hast du auch richtig eingesetzt. Da komm ich auf die gleichen Gleichungen. Da du 4 Unbekannte hast, brauchst du vier linear unabhängige Gleichungen um das Ding eindeutig lösen zu können. Dein Maximum soll bei (2;y) liegen. Da jedem x-Wert nur ein y-Wert zugeordnet werden kann, sonst hast du keine Funktion, ist deine Nullstelle = deinem Maximum. Damit hast du folgende Gleichungen: NS1 (2;0) => f(2) = 8a+4b+2c+d=0 NS2 (6;0) => f(6) = 216a+36b+6c+d=0 Für den Extrempunkt muss die erste Ableitung Null sein, also: E1 (2;0) => f'(2) = 12a+4b+c=0 E2 (14/3;y) => f'(14/3) = 0 (hier habe ich jetzt nicht eingesetzt) Damit hast du 4 linear unabhängige Gleichungen und 4 Unbekannte. Ist das jetzt für dich lösbar? |
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joa also dat sacht mir jetzt schon viel, ich hätte jetzt auch so nen kleinen anhaltspunkt wie es weiterginge, also würde jetzt subtraktionsverfahren anwenden, allerdings hab ich dazu auch noch paar fragen und zwar, ob das denn was ausmacht wenn ich da mit den gleichungen von f(x) und f'(x) rumwerkle beim verfahren jetzt, weil die ableitung hat ja ein glied weniger und ob es egal ist, wie ich die gleichungen nacheinander nummeriere, also ob ich jetzt 1) 8a+8b+2c+d = 0 2) 216a+36b+6c+d = 0 3) 12a+4b+c = 0 4) 4/2/3a+9/1/3b+c = 0 oder ob ich dabei z.b. auch die ersten beiden gleichungen tauschen könnte, sodass ich beim subtraktionsverfahren nicht so dumme negativ zahlen da raus bekomme und später im unendlich großen zeugs lande? |
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Also die Nummerierung ist egal. Und dass du bei den f'(x) was weniger hast - also kein d - ist doch umso besser. Dann geht es viel leichter. Probier mal aus. Das bekommst du bestimmt hin ;) |
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also gut^^ hab da jetzt stehen 5) -1109/1/3a-170/2/3b-10/2/3c = 0 6) 14/2/3a-10/2/3 = 0 normal würd ich das jetzt subtrahieren und irgendwie a rausbekommen aber dieses verfluchte dritte glied da bei der 5) verwirrt mich bisschen, kannste mir da nochma bitte helfen ._. |
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| Moment, ich rechne mal eben. |
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So, bei mir sieht es etwas anders aus. Ich versuche das mal logisch aufzuschreiben. Du hast folgende Gleichungen: 1) 216a+36b+6c+d=0 2) 8a+8b+2c+d=0 3) 12a+4b+c=0 4) 196/3*a+28/3*b+c=0 (diese hier wird erst einmal mit 3 multipliziert, das macht es leichter) 4') 196a+28b+3c=0 1)-2) 208a+28b+4c=0 neue Gleichung 5) 5)-4*3) 160a+12b=0 neue Gleichung 6) 3*4)-3*3) 160a+16b=0 neue Gleichung 7) Mit 6) und 7) müsstest du jetzt a und b bestimmen können. Mit 5) dann anschließend c und d bestimmst du zum Schluss mit 1) oder 2)!!! Probe nicht vergessen ;) So, ich hoffe das haut so jetzt hin. |
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jut ok ich denk mich da jetzt mal rein und versuch dat nomma, danke schon mal =) noch ne frage: erst mal wo kommen denn jetzt bei der 4) die großen zahlen wie 196 raus und warum steht bei 2) denn da 8b? |
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Warte mal, also irgendwie, wenn ich mir das so anschaue, stimmt da was nicht. Jetzt würde ja für alles Null rauskommen. MMMMhhhhh. Irgendwo habe ich einen kleinen Rechenfehler drin. Vielleicht findest du ihn ja ;) Aber das Prinzip funktioniert. Also wegen der 196... du hast ja 3ax² und für x setzt du 14/3 ein, dann steht da: 3*a*14/3*14/3 eine drei kannst du kürzen => 14/3*14*a = 196/3 a und für b: 2bx = 2* 14/3*b = 28/3*b und ich hatte dann mit 3 erweitert. So komme ich auf 196a und 28b und 3c |
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| jo, das prinzip versteh ich, nur wieso kommen jetzt bei der 4) die großen zahlen wie 196 raus und warum steht bei 2) denn da 8b? |
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Die 8b bei 2) sind ein Tippfehler. Da gehört eine 4b hin. |
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| So, haut es jetzt hin? |
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Habe den Fehler bei 2) korrigiert und bekomme nun heraus: 1)-2) 208a+32b+4c=0 neue Gleichung 5) 5)-4*3)160a+16b=0 neue Gleichung 6) 6) und 7) stimmen überein Du kannst also ein a wählen. Die anderen ergeben sich dann in Abhängigkeit. Sei a =-1, dann ist mit 7) b = 10 Dann ist mit 5) c = -68 Dann ist mit 1) d = 196 Deine Gleichung wäre also: -x^3+10x²-68x+196 Hast du das auch? |
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um gottes willen... 5)-4*3)160a+16b=0 neue Gleichung 6) 3*4)-3*3) 160a+16b=0 neue Gleichung 7) das stück will nich ganz in meinen kopf, weil, ich versteh ncih ganz was du meinst mit diesen vornummerierungen, wieso wird dann auf einmal die 3te gleichung auch * 3 genommen und irgendwie kommt da bei mir was ganz anderes raus also bei mir käme da so raus: 5)-4*3) = 12a+4b-1c ? äääähm moment ich versuchs noch mal irgendwie, momentschen... |
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Also ich kann Gleichungen beliebig erweitern. Ich wollte dich jetzt nicht verwirren ;) Sorry Wenn ich die Gleichung 3) 12a+4b+c=0 mit 4 erweitere, steht da 3')48a+16b+4c=0 Gleichung 5) 208a+32b+4c=0 5)-3') 160a+16b=0 verständlicher? Das ist aber auch eine irre Rechnerei mit den ganzen Gleichungen. Da verleirt man leicht den Überblick ;) |
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ja ok das bringt jetzt etwas licht in die sache, ich probiers einfach noch mal... mathe kann echt sowas von nervig sein @.@ |
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So zu deiner anderen Frage: 3*4) = 4') (hatten wir ja oben schon) 4') 196a+28b+3c=0 3) 12a+4b+c=0 Nun wollen wir das nervige c loswerden, dazu muss ich 3) mit 3 multiplizieren, damit bei beiden hinten eine 3 steht. 3*3) = 3') 3') 36a+12b+3c=0 Nun der letzte Schritt: 4')-3')160a+16b=0 Verständlicher? |
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| moment ich rechne mal grad, also verständlicher isses schon mal^^ |
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Okay. Allerdings, vergiß noch einmal meine obigen Zahlenlösungen für a,b,c und d. Bei der Probe haut es nicht hin. Die Aufgabe hört sich so einfach an und dann verrechnet man sich 5000mal. Das ist echt nervig. Also ich freu mich, dass mein Ansatz verständlich ist, aber im Detail hakt es gerade. Sorry. |
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Du brauchst die Lösung ja erst nächste Woche. Ich schalt jetzt mal eben ab. Mir raucht der Kopf. Wenn du noch eine Lösung findest, schaue ich sie mir morgen mal an. Ich hoffe das ist okay für dich! |
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ja macht ja nix, ich bin ja froh damit dass sich einer damit befasst und mir versucht da irgendwie zu helfen... wenigstens bin ich jetzt schon mal ein stückchen weiter als vorher^^ ich probier das jetzt noch mal befass mich damit noch mal in ruhe und dann sehn wa mal. aber herzlichen dank für deine hilfe =) ich wär sonst echt aufgeschmissen^^ edit: ja ist schon okay kann ich verstehen, haben ja jetzt auch ziemlich lange an dem akck gesessen^^ |
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Hallo Mädels, das ist ja eine riesen Energieleistung von Euch, aber ihr habt einen entscheidenden Fehler gemacht: Ihr habt sofort nach Schema-F losgelegt und gerechnet, anstatt Euch die Aufgabenstellung GANZ GENAU anzusehen! Ich schreib mal die von Euch übersehene Erkentnis hinter der Angabe im Text auf! "Gesucht ist eine Funktion 3ten Grades mit den Nullstellen x=2 und x=6; Maximalstelle xE=2 [f(2)=0 (s. weiter vorn) und f'(2)=0 --> 2 ist mindestens doppelte Nullstelle!] und Minimalstelle xE=14/3 = 4,666..." Jetzt kennt man eine Nullstelle mit einer Vielfachheit von größer gleich 2 und eine Nullstelle mit einer Vielfachheit größer gleich 1, d.h. man kennt mindestens 3 Nullstellen. Nun hat eine ganzrationale Funktion 3. Grades aber maximal 3 Nullstellen, d.h. man kennt ALLE Nullstellen. Damit verkürzt sich der Ansatz auf: f(x) = a*(x - 2)^2*(x - 6) f(x) = a*(x^2 - 4*x + 4)*(x - 6) f(x) = a*(x^3 - 10*x^2 + 28*x - 24) Um das a bestimmen zu können, braucht man einen Funktionswert an einer Stelle, die keine Nullstelle ist, d.h. wir können a so nicht näher bestimmen. Wir wissen aber, daß die zweite Ableitung an der Stelle x = 6 größer als Null ist: f'(x) = a*(3*x^2 - 20*x + 28) f"(x) = a*(6*x - 20) f"(6) = a*(6*6 - 20) > 0 --> a*16 > 0 --> a > 0 Jetzt sehen wir, daß wir für die Minimalstelle gar keine Verwendung gefunden haben, die Funktion ist einerseits unterbestimmt (wir können a nur einschränken, aber nicht genau festlegen), andererseits ist die Funktion überbestimmt, d.h. die letzte Forderung könnte dazu führen, daß es keine Funktion gibt, die alle Voraussetzungen erfüllt. Deshalb muß man die Minimalstelle einfach in die Ableitungen einsetzen und überprüfen, ob diese tatsächlich von den gefundenen f(x) erfüllt sind: f'(14/3) = a*(196/3 - 280/3 + 84/3) = a*0 = 0 f"(14/3) = a*(28 - 20) = a*8 > 0 --> Minimalstelle Jetzt könnte noch der Einwand folgen, daß natürlich auch die Stelle x = 2 auf Maximalstelle zu überprüfen ist, aber es handelt sich hier um eine ganzrationale Funktion 3. Grades mit 2 verschiedenen Nullstellen, d.h mit mehr als einer Nullstelle. Eine solche Funktion hat immer genau einen Minimal- und genau einen Maximalpunkt! Da die dafür notwendige Bedingung (1. Ableitung ist Null) an der Stelle x = 2 durch unseren Ansatz erfüllt ist und x = 14/3 als Minimalstelle bestätgigt ist, muß x = 2 die Maximalstelle sein! Damit ist auch die letzte Voraussetzung erfüllt! Die Lösung lautet also: Alle Funktionen f(x) = a*(x^3 - 10*x^2 + 28*x - 24) mit a > = erfüllen die Voraussetzungen und sind somit Lösung der Aufgabe! |
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Hallo m-at-he, wow!!! Du hast recht. Habe viel zu schnell losgelegt. Vielen Dank, das beruhigt mich. Hätte mir sonst den ganzen Tag den Kopf zerbrochen. Viele Grüße |
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