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Rekonstruktion von Funktionstermen- Steckbriefe

Schüler

Tags: 3.Grad, Funktion, Steckbriefaufgabe

timo1010 aktiv_icon

13:38 Uhr, 16.02.2020

Hallo !
Ich soll die folgende Aufgabe lösen. Ich habe schon einen Ansatz herausgefunden, jedoch komme ich leider nicht weiter. Wer kann helfen?

Aufgabe:

Von einer ganzrationalen Funktion 3. Grades ist folgendes bekannt:
Sie hat einen Extrempunkt bei

P (- 1 - 4)

und sie hat einen Wendepunkt

W (- 2 - 2)

.

Mein Ansatz:

f (x) =

ax^3+bx^2+cx+d
I:

f (- 1) = - 4

II: f´(-1)=0
III:

f (- 2) = - 2

IV: f´´(-2)=0

Leider komme ich ab hier nicht weiter...

Danke für Eure Hilfe!!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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13:44 Uhr, 16.02.2020

Stelle die 4 Gleichungen auf und löse das System:

I)

a \cdot {(- 1)}^{3} + b \cdot {(- 1)}^{2} + c \cdot (- 1) + d = 0

- a + b - c + d = 0

II)

. .

.

Die Ableitungen kannst du doch bilden, oder?

timo1010 aktiv_icon

14:19 Uhr, 16.02.2020

Ableitung kann ich bilden...

Aber ich habe eine Frage zu deinem Gleichungssystem:

Müsste das nicht wenn schon

a \cdot {(- 1)}^{3} + b \cdot {(- 1)}^{2} + c \cdot (- 1) + d = - 4

und wie bist du auf

- a + b - c + d = 0

bekommen?

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14:42 Uhr, 16.02.2020

Sorry, das war ein Tippfehler.Statt 0 muss es

- 4

lauten.

Atlantik aktiv_icon

15:02 Uhr, 16.02.2020

Alternative:

Sie hat einen Extrempunkt bei

P (

−1 | −

4)

und sie hat einen Wendepunkt

W

(− 2 |−

2)

.

Die Koordinaten setze ich nun um 4 Einheiten nach oben:

P

´ ( −

1 | 0)

und

W

´ ( −

2 | 2)

Nun Nullstellenform der Parabel 3.Grades:

f (x) = a \cdot (x - N_{1}) \cdot (x - N_{2}) \cdot (x - N_{2})

Weil bei

x = - 1

ein Extremwert vorliegt, ist dort eine doppelte Nullstelle:

f (x) = a \cdot (x + 1) \cdot (x + 1) \cdot (x - N_{3})

f (x) = a \cdot {(x + 1)}^{2} \cdot (x - N_{3})

W

(- 2 | 2)

f (- 2) = a \cdot {(- 2 + 1)}^{2} \cdot (- 2 - N_{3})

1 .) a \cdot {(- 2 + 1)}^{2} \cdot (- 2 - N_{3}) = 2 \to a \cdot (- 2 - N_{3}) = 2

f

(x) = a \cdot [2 \cdot (x + 1) \cdot (x - N_{3}) + {(x + 1)}^{2} \cdot 1] = a \cdot [2 x^{2} - 2 x \cdot N_{3} + 2 x - 2 N_{3} + x^{2} + 2 x + 1]

f

(x) = a \cdot [3 x^{2} - 2 x \cdot N_{3} + 4 x - 2 N_{3} + 1]

f´´(x)=

a \cdot [6 x - 2 \cdot N_{3} + 4]

f´´(-2)=a*

[

6 (- 2) - 2 \cdot N_{3} + 4] = a \cdot [- 8 - 2 \cdot N_{3}]

a \cdot [- 8 - 2 \cdot N_{3}] = 0 | : a

mit

a \neq 0

2 N_{3} = - 8

2 .) N_{3} = - 4

1 .) a \cdot (- 2 + 4) = 2

a = 1

f (x) = {(x + 1)}^{2} \cdot (x + 4)

Nun wieder 4 Einheiten nach unten

f (x) = {(x + 1)}^{2} \cdot (x + 4) - 4 = . .

.

mfG

Atlantik

G r a p h e n :

Atlantik aktiv_icon

15:51 Uhr, 16.02.2020

Sie hat einen Extrempunkt bei

P (- 1 - 4)

und sie hat einen Wendepunkt

W (- 2 - 2)

.

Da eine Extremstelle bei

P (- 1 | - 4)

und der Wendepunkt bei

W (- 2 | - 2)

liegt, muss die 2. Extremstelle bei

E (- 3 | 0)

liegen. Bei Funktionen 3.Grades liegt immer Punktsymmetrie zum Wendepunkt vor.

Weiter dann mit der vorhin schon verwendeten Nullstellenform:

f (x) = a \cdot {(x + 3)}^{2} \cdot (x - N_{3})

. .

.

mfG

Atlantik

timo1010 aktiv_icon

20:38 Uhr, 20.02.2020

Hey.
Deine Hilfestellung ist super, aber leider werde ich irgendwie immer noch nicht richtig schlau draus.
Sorry, tut mir echt leid. Ich bin nicht so gut in Mathe...
Könntest du mir vielleicht den ges. Lösungsweg einmal zeigen, damit ich das verstehe und nachvollziehen kann?

Vielen Dank für Deine Bemühungen.

Atlantik aktiv_icon

21:52 Uhr, 20.02.2020

Ich mache mal da weiter:

f (x) = a \cdot {(x + 3)}^{2} \cdot (x - N_{3})

W (- 2 | - 2)

f (- 2) = a \cdot {(- 2 + 3)}^{2} \cdot (- 2 - N_{3}) = a \cdot (- 2 - N_{3})

1 .) a \cdot (- 2 - N_{3}) = - 2

f

(x) = a \cdot [2 \cdot (x + 3) \cdot 1 \cdot (x - N_{3}) + {(x + 3)}^{2} \cdot 1] =

= a \cdot [2 \cdot (x + 3) \cdot (x - N_{3}) + {(x + 3)}^{2}] = a \cdot [2 x^{2} - 2 \cdot x \cdot N_{3} + 2 \cdot 3 x - 2 \cdot 3 \cdot N_{3} + x^{2} + 6 x + 9] =

= a \cdot [3 x^{2} - 2 \cdot x \cdot N_{3} + 12 x - 6 N_{3} + 9]

f

´ ´

(x) = a \cdot [6 x - 2 N_{3} + 12]

f

´ ´

(- 2) = a \cdot [6 \cdot (- 2) - 2 N_{3} + 12]

a \cdot [- 2 N_{3}] = 0 | : a

mit

a \neq 0

- 2 N_{3} = 0 \to N_{3} = 0

1 .) a \cdot (- 2 - 0) = - 2

a = 1

2 .) N_{3} = 0

f (x) = {(x + 3)}^{2} \cdot x

mfG

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