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Rekursion kaskadieren?

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Rekursives Zählen

Tags: kaskadieren, Rekurrenz, Rekursives Zählen, Sonstig

birdbox

13:07 Uhr, 22.05.2016

Hallo!

"Gegeben ist die Folge

a_{n}

mit

a_{0} = 0, a_{1} = 2

und

a_{n} = 2 a_{n - 1} - a_{n - 2} + 2^{n - 1}

für

n \geq 2

.
Finden Sie eine explizite Formel für

a_{n}

durch (wiederholtes) Kaskadieren."

Also das Kaskadieren hab ich mal angehangen, wie das aussehen soll.
Für das Beispiel aus der Folie ist es nicht so schwer, aber so komm ich nicht drauf, also ich hab mal alles untereinander geschrieben:

a_{n} = 2 a_{n - 1} - a_{n - 2} + 2^{n - 1}

a_{n - 1} = 2 a_{n - 2} - a_{n - 3} + 2^{n - 2}

a_{n - 2} = 2 a_{n - 3} - a_{n - 4} + 2^{n - 3}

...
...

a_{3} = 2 a_{2} - a_{1} + 2^{2}

a_{2} = 2 a_{1} - a_{0} + 2^{1}

a_{1} = 2

a_{0} = 0

_________________________________________

Hmm, also das einzige was mir dazu einfällt wär sowas:

a_{n} = (((2 \cdot 2 - a_{0} + 2) \cdot 2 - a_{1} + 4) \cdot 2 - a_{2} + 8) \cdot 2 - a_{3} + 16 . . .

Wie ich da dann aber auf eine geschlossene Formel komme ist mir noch rätselhaft.

Vielleicht hat jemand eine Idee?
LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

14:15 Uhr, 22.05.2016

Wenn du es von "unten" her aufrollst also

a_{2} = ..., a_{3} = ... .,

etc. und die Zweierpotenzen als solche stehen lässt, kommst du rasch auf die Vermutung

a_{n} = 2 \cdot (2^{n} - 1)

birdbox

23:23 Uhr, 22.05.2016

Wow, das war mir jetzt zu schnell, kannst du mir das genauer erklären?
Nur ich soll es ja mit diesem "Kaskadieren" machen, also besser gesagt mit mehrfachem Kaskadieren, eine Idee was damit gemeint ist?

Roman-22

00:01 Uhr, 23.05.2016

>

mehrfachem Kaskadieren, eine Idee was damit gemeint ist?
Nicht wirklich. Vermutlich kann man durch geschicktes ausführliches Aufschreiben erkennen, dass es sich um ein paar Summen von Zweierpotenzen handelt, für die man dann eben die Summenformel verwendet. Schließlich ist mein

a_{n} = 2^{n + 1} - 2 = \sum_{k = 1}^{n} 2^{k}

.
Ich hab nur die ersten paar Glieder betrachtet, das Bildungsgesetz "gesehen"/vermutet und würde es im nächsten Schritt zu beweisen versuchen (Induktion).

birdbox

00:10 Uhr, 25.05.2016

Hmmm, habe mehrere Zahlen eingesetzt und bin nun auch auf das Ergebnis gekommen, allerdings hilft mir das leider nicht, denn ich muss es mit diesem kaskadieren machen.
Ich sitz schon einige Zeit davor, hab es mehrmals untereinander geschrieben, aber komm einfach nicht dahinter, bei dem Beispiel aus der Folie (Beitrag 1) ist es nicht schwer, hier sind allerdings 2 solche rekursiven Dinger drinnen. Vermutlich bekomm ich beim ersten mal Kaskadieren einen weg (

a_{n - 2}

) und beim zweiten mal, den nächsten (

a_{n - 1}

).

Aber ich komm einfach nicht dahinter... :(

birdbox

11:58 Uhr, 29.05.2016

Habs nun doch noch hinbekommen, vielen Dank für deine Hilfe!!!

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