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Tags: Folgen, Vollständig Induktion

WesleyCrusher aktiv_icon

14:35 Uhr, 28.09.2022

Hallo zusammen, ich habe folgende Aufgabe. Bevor ich in die Musterlösung schaue, wollte ich sie hier einmal posten. Das bringt mir irgendwie immer mehr, als nur in der Lösung nachzuschauen, weil es immer ein paar interessante Anmerkungen gibt :-)

Aufgabe:
Beweisen Sie, dass die Folge

{(a_{N})}_{n \in ℕ}

mit

a_{1} = 1, a_{2} = 1

und

a_{n} = \frac{a_{n - 1} \cdot a_{n - 2}}{n}

monoton fallend ist.

Imduktionsanfang:
Für

n = 1

und

n = 2

ist

a_{1} = 1 \geq 1 = a_{2}

. Damit gilt der Induktionsanfang.

Induktionsannahme:
Sei

n \geq 2

und

a_{n} = \frac{a_{n - 1} \cdot a_{n - 2}}{n} \geq a_{n + 1} = \frac{a_{n} \cdot a_{n - 1}}{n + 1}

Induktionsschritt:
Da bin mir etwas unsicher wegen der Formulierung.
Ich muss ja aber eine wahre Implikation zeigen und am logischsten ist für mich gerade, wenn

A = a_{n} = \frac{a_{n - 1} \cdot a_{n - 2}}{n} \geq a_{n + 1} = \frac{a_{n} \cdot a_{n - 1}}{n + 1}

wahr ist, dann ist auch

B =

Die Folge

a_{n}

ist monoton fallend

wahr.
Also:

z . z : a_{n} = \frac{a_{n - 1} \cdot a_{n - 2}}{n} \geq a_{n + 1} = \frac{a_{n} \cdot a_{n - 1}}{n + 1} \Rightarrow {(a_{n})}_{n \in ℕ}

ist monoton fallend.

Beweis:
Da bin ich mir auch nicht sicher, ob das alles passt...

a_{n} = a_{n + 1 - 1} = \frac{a_{n - 1} \cdot a_{n - 1 - 1}}{n + 1 - 1} = \frac{a_{n - 1} \cdot a_{n - 2}}{n + 1 - 1}

\geq \frac{a_{n} \cdot a_{n - 1}}{n + 1 - 1}

da laut Annahme

a_{n - 1} \cdot a_{n - 2} \geq a_{n} \cdot a_{n - 1}

\geq \frac{a_{n} \cdot a_{n - 1}}{n + 1}

da der Nenner größer ist

= a_{n + 1}

Mit dem Prinzip der vollständigen Induktion folgt die Behauptung, dass

{(a_{n})}_{n \in ℕ}

monoton fallend ist.

□

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

14:42 Uhr, 28.09.2022

Kann man so machen. Einfacher wäre aber der Induktionsschritt

a_{n + 1} = a_{n} \cdot \frac{a_{n - 1}}{n} \leq a_{n} \cdot \frac{1}{n} \leq a_{n}

,

denn es ist

a_{n - 1} \leq a_{1} = 1

aufgrund eben jener Monotonie.

-------------------------------------------------------------

Man findet übrigens folgende explizite Darstellung der Folge

a_{n} = \prod_{k = 3}^{n} k^{- f_{n + 1 - k}}

,

dabei kennzeichnet

(f_{n})

die Fibonacci-Folge.

michaL aktiv_icon

18:28 Uhr, 28.09.2022

Hallo,

wenn die Induktionsannahme ist, dass

a_{n + 1} \leq a_{n} \leq a_{n - 1} \leq \dots \leq a_{1}

gilt, so müsstest du daraus folgern, dass

a_{n + 1 + 1} \leq a_{n + 1}

, also

a_{n + 2} \leq a_{n + 1}

gilt.

Du kannst die untere Ungleichung als Arbeitsversion nehmen und darin auf beiden Seiten die Rekursionsgleichung einsetzen. Das führt zu

\frac{a_{n + 1} a_{n}}{n + 2} \leq \frac{a_{n} a_{n - 1}}{n + 1}

.

Wegen

a_{n} \neq 0

stets (sicher eine eigene Induktion wert bzw. die Bemerkung, dass dann

a_{n}

stationär wird und insbesondere monoton) ist dies gleichbedeutend mit

\frac{a_{n + 1}}{n + 2} \leq \frac{a_{n - 1}}{n + 1} \overset{}{\Leftrightarrow} a_{n + 1} \leq \frac{n + 2}{n + 1} a_{n - 1}

.

Dass diese Ungleichung wahr ist, zeigt folgende Kette:

a_{n + 1} \overset{IA}{\leq} a_{n} \overset{IA}{\leq} a_{n - 1} < \frac{n + 2}{n + 1} a_{n - 1}

.

Mfg Michael

WesleyCrusher aktiv_icon

18:24 Uhr, 29.09.2022

@HAL9000 und @michaL

Danke für eure Antworten!

Also ich würde es dann jetzt so machen (müsste so passen vom aufschreiben her oder?):

Induktionsanfang:

Es ist

a_{1} = 1 \geq 1 = a_{2}

Damit gilt der Induktionsanfang.

Induktionsannahme:

Sei

n \geq 2

und

a_{1} \geq ... \geq a_{n - 1} \geq a_{n}

Induktionsschritt:

zu zeigen:

a_{n} \geq a_{n + 1}

Beweis: (wie von HAL9000)

a_{n + 1} = \frac{a_{n} \cdot a_{n - 1}}{n + 1} \leq \frac{a_{n} \cdot a_{n - 1}}{n} = a_{n} \cdot \frac{a_{n - 1}}{n} \leq a_{n} \cdot \frac{1}{n}

(da nach Annahme

n \geq 2

und

a_{n - 1} \leq a_{1} = 1

gilt)

\leq a_{n}

Mit dem Prinzip der

V . I

. folgt die Behauptung, dass

a_{n}

monoton fallend ist.

□

LG Wesley

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