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Rekursionsformel aufstellen?

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Rekursionsformel

azureaus aktiv_icon

19:20 Uhr, 23.08.2009

Hallo Leute,

Ich mal wider.
Wider eine wunderschöne Klausuraufgabe, hoffe ihr könnt mir wider so super helfen wie bei der letzten.

und zwar, gegeben war:

$I_{n} = \int_{0}^{\infty} x^{n} e^{- x} d x$

und wir sollten dazu die Rekursionsformel aufstellen.

Mein Problem, was ist eine Rekursionsformel bei Integralen, weil auch in der Formelsammlung habe ich die nur im Bezug auf Summen gefunden(klar auch ein Integral ist eigentlich eine Summe) aber wie stelle ich das in solch einem Fall auf.

Brauch dringend hilfe, habe morgen nen Termin mit dem Prof.

Danke schonmal

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Sina86

19:47 Uhr, 23.08.2009

Hi,

ich glaube ich verstehe deine Frage nicht ganz, welche Rekursionsformel brauchst du denn? Sollte in deinem Integral irgendwo ein (n+1) oder (n-1) stehen, bzw. benötigt man doch zumindest ein Anfangintegral (also z.B.

I_{1}

) oder so...

Lieben Gruß
Sina

azureaus aktiv_icon

19:53 Uhr, 23.08.2009

Hallo,
naja das gleiche Problem habe ich ja auch, denn muss ich jetzt das

n

das in dem Integral auftaucht quasi als

n - 1 + 1

schreiben, oder bezieht sich das in dem Fall auf das (unendlich) der Integrationsgrenzen.

Mehr informationen hatte der Prof ja leider auch nicht gegeben und deswegen wusste ich damit nichts anzufangen...

hoffe irgendwer hat da ne geniale idee was der prof gemeint hat..... :-)

HILFE..ist echt wichtig

Sina86

20:15 Uhr, 23.08.2009

Hm, tut mir Leid, ich würde dir wirklich gerne helfen, aber zu diesem Integral fällt mir kein Zusammenhang mit Rekursion ein. Vlt sollst du einfach das Integral als Grenzwert einer Summe darstellen? Aber das wäre doch zu harsch an den Haaren herbei gezogen :(

BjBot aktiv_icon

20:26 Uhr, 23.08.2009

Hmm also das geht halt ganz normal durch einmal partielle integrieren, wobei der Term uv in den Grenzen von 0 und unendlich nachher wegfällt (Grenzwertbetrachtung) und dann einfach nur

I_{n} = n \cdot I_{n - 1}

verbleibt und das wars auch schon.

pepe1 aktiv_icon

20:34 Uhr, 23.08.2009

1 .)

Ermittle mittels partieller Integration das unbestimmte Integral:

\int (x^{n} \cdot e^{- x}) d x = - x^{n} \cdot e^{- x} + n \cdot \int (x^{n - 1} \cdot e^{- x} d x

2.)Mittels Grenzübergang

M \to \infty

bzw. Einsetzen von

x_{0} = 0

erhalten wir:

\int_{0}^{\infty} x^{n} \cdot e^{- x} d x = n \cdot \int_{0}^{\infty} (x^{n - 1} \cdot e^{- x}) d x

3 .)

Mit der Abkürzung:

a_{n} := \int_{0}^{\infty} (x^{n} \cdot e^{- x}) d x

erhalten wir somit die Rekursionsformel:

a_{n} = n \cdot a_{n - 1}; a_{0} = 1 - lim_{x \to 00} e^{- x} = 1

Aus der Rekursion ergibt sich:

a_{n} = n!

4.)Gamma-Funktion
Definition:

γ (n) = (n - 1)! = \int_{0}^{\infty} (x^{n - 1} \cdot e^{- x}) d x

Es gilt also:

a_{n} := \int_{0}^{\infty} (x^{n} \cdot e^{- x}) d x = γ (n + 1)

MfG

PS: Als ich meine Antwort niederschrieb - ich brauche zum Tippen etwas länger

-,

war der Beitrag des Vorgängers noch nicht da.
Die Überschneidung der Antworten bitte ich zu entschuldigen.

Sina86

20:36 Uhr, 23.08.2009

Ah, ok... darauf muss man aber auch erst mal kommen :-) Ich bedanke mich auch!!!

azureaus aktiv_icon

15:06 Uhr, 08.09.2009

Dankeschön...

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