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Rekursionsgleichung aufstellen

Universität / Fachhochschule

Finanzmathematik

Tags: Rekursion

 
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Fluktuation23

Fluktuation23 aktiv_icon

14:19 Uhr, 23.02.2021

Antworten
Ich möchte folgende Rekursionsgleichung lösen an:=2an-1-an-2+1
Mit a0=2 und a1=1

Zur Kontrolle ist die Information gegeben, dass in den Rechnungen das Zwischenergebns

A(x)=4x2-5x+2(1-x)(1-2x+x2)
auftauchen sollte

Meine Rechnungen sehen wie folgt aus:

A(x)=n0anxn

=2+x+n2(2an-1-an-2+1)xn

=2+x+(2xn2an-1xn-1)-(x2n2an-2xn-2)+(n2xn)

==2+x+(2xn1anxn)-(x2n0anxn)+(n2xn)

=2+x+2x(A(x)-2)-x2A(x)+n2xn

A(x)(1-2x+x2)=2+x-4x+n2xn

A(x)=2+x-4x+n2xn1-2x+x2

So weit so gut, das Ergebnis soll aber folgendes sein

A(x)=4x2-5x+2(1-x)(1-2x+x2)

Schwierigkeiten bereitet mir der Summand n2xn, beziehungsweise der Summand +1 in der Rekursionsgleichung. Wie kann ich den umformen, sodass ich auf das richtige Ergebnis komme?



Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

15:05 Uhr, 23.02.2021

Antworten
n2xn ist die geometrische Reihe, daher:
n2xn=x2n0xn=x211-x.
Antwort
N8eule

N8eule

15:07 Uhr, 23.02.2021

Antworten
Hallo
Es lohnt sich auch immer - zur Orientierung - die ersten Glieder mal übersichtlich zu Papier zu bringen.
Wenn du willst, kannst du dann noch immer die Differenzen aufeinander folgender Glieder betrachten...
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

16:13 Uhr, 23.02.2021

Antworten
Warum eigentlich nicht gleich A(x)=4x2-5x+2(1-x)3 schreiben? Ist schon im Hinweis seltsamerweise nicht der Fall.
Antwort
Gerd30.1

Gerd30.1 aktiv_icon

16:17 Uhr, 23.02.2021

Antworten
Mit dem Ansatz f(n)=an2+bn+c komme ich auf die Formel f(n)=0,5n2-1,5n+2
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N8eule

N8eule

17:48 Uhr, 23.02.2021

Antworten
gut, ich auch.
Aus deiner Erklärung wird jetzt nur noch nicht klar, ob du die ersten Beispiele durchgerechnet hast und guten Mutes sehr viel Vertrauen finden durftest,
oder ob du auch schon die Allgemein-Gültigkeit bewiesen hast...

Fluktuation23

Fluktuation23 aktiv_icon

18:25 Uhr, 23.02.2021

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Ich verstehe. Wenn also n2xn=x21-x ist, dann ist

2-3x+x21-x1-2x+x2=4x2-5x+2(1-x)(1-2x+x2)

Von hier an müsste man nur noch eine Partialbruchzerlegung machen und kann dannaus der Tabelle lesen, wie die nicht-rekursive Funktion lauten würde. Das mit dem Ansatz f(n)=an2+bn+c muss ich mir noch mal anschauen, es scheint die Sache zu vereinfachen. Vielen Dank
Frage beantwortet
Fluktuation23

Fluktuation23 aktiv_icon

18:26 Uhr, 23.02.2021

Antworten
Ich verstehe. Wenn also n2xn=x21-x ist, dann ist

2-3x+x21-x1-2x+x2=4x2-5x+2(1-x)(1-2x+x2)

Von hier an müsste man nur noch eine Partialbruchzerlegung machen und kann dannaus der Tabelle lesen, wie die nicht-rekursive Funktion lauten würde. Das mit dem Ansatz f(n)=an2+bn+c muss ich mir noch mal anschauen, es scheint die Sache zu vereinfachen. Vielen Dank
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

20:55 Uhr, 23.02.2021

Antworten
> Das mit dem Ansatz f(n)=an2+bn+c muss ich mir noch mal anschauen, es scheint die Sache zu vereinfachen.

Naja, dein Weg über die erzeugende Funktion ist einfach allgemeiner. Das mit dem quadratischen Ansatzt kann man unter "Glück gehabt" verbuchen, oder vielleicht aber auch unter "gutes Auge". Sähe die Rekursionsgleichung anders aus, wie z.B.

bn=4bn-1-4bn-2+1,

dann wäre es nix mehr mit quadratischem Ansatz. Mit gutem Auge würde man dann wohl direkt mit Ansatz bn=(an+b)2n+c arbeiten. Aber man will ja nicht als Zauberer auftreten, sondern den Fragesteller auch möglichst logisch zur Lösung leiten. ;-)