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Rekursionsgleichung aufstellen

Universität / Fachhochschule

Finanzmathematik

Tags: Rekursion

Fluktuation23 aktiv_icon

14:19 Uhr, 23.02.2021

Ich möchte folgende Rekursionsgleichung lösen

a_{n} := 2 a_{n - 1} - a_{n - 2} + 1

Mit

a_{0} = 2

und

a_{1} = 1

Zur Kontrolle ist die Information gegeben, dass in den Rechnungen das Zwischenergebns

A (x) = \frac{4 x^{2} - 5 x + 2}{(1 - x) (1 - 2 x + x^{2})}

auftauchen sollte

Meine Rechnungen sehen wie folgt aus:

A (x) = \sum_{n \geq 0} a_{n} x^{n}

= 2 + x + \sum_{n \geq 2} (2 a_{n - 1} - a_{n - 2} + 1) x^{n}

= 2 + x + (2 x \sum_{n \geq 2} a_{n - 1} x^{n - 1}) - (x^{2} \sum_{n \geq 2} a_{n - 2} x^{n - 2}) + (\sum_{n \geq 2} x^{n})

= = 2 + x + (2 x \sum_{n \geq 1} a_{n} x^{n}) - (x^{2} \sum_{n \geq 0} a_{n} x^{n}) + (\sum_{n \geq 2} x^{n})

= 2 + x + 2 x (A (x) - 2) - x^{2} A (x) + \sum_{n \geq 2} x^{n}

A (x) (1 - 2 x + x^{2}) = 2 + x - 4 x + \sum_{n \geq 2} x^{n}

A (x) = \frac{2 + x - 4 x + \sum_{n \geq 2} x^{n}}{1 - 2 x + x^{2}}

So weit so gut, das Ergebnis soll aber folgendes sein

A (x) = \frac{4 x^{2} - 5 x + 2}{(1 - x) (1 - 2 x + x^{2})}

Schwierigkeiten bereitet mir der Summand

\sum_{n \geq 2} x^{n},

beziehungsweise der Summand

+ 1

in der Rekursionsgleichung. Wie kann ich den umformen, sodass ich auf das richtige Ergebnis komme?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

15:05 Uhr, 23.02.2021

\sum_{n \geq 2} x^{n}

ist die geometrische Reihe, daher:

\sum_{n \geq 2} x^{n} = x^{2} \sum_{n \geq 0} x^{n} = x^{2} \frac{1}{1 - x}

N8eule

15:07 Uhr, 23.02.2021

Hallo
Es lohnt sich auch immer - zur Orientierung - die ersten Glieder mal übersichtlich zu Papier zu bringen.
Wenn du willst, kannst du dann noch immer die Differenzen aufeinander folgender Glieder betrachten...

HAL9000

16:13 Uhr, 23.02.2021

Warum eigentlich nicht gleich

A (x) = \frac{4 x^{2} - 5 x + 2}{{(1 - x)}^{3}}

schreiben? Ist schon im Hinweis seltsamerweise nicht der Fall.

Gerd30.1 aktiv_icon

16:17 Uhr, 23.02.2021

Mit dem Ansatz

f (n) = a n^{2} + b n + c

komme ich auf die Formel

f (n) = 0, 5 n^{2} - 1, 5 n + 2

N8eule

17:48 Uhr, 23.02.2021

gut, ich auch.
Aus deiner Erklärung wird jetzt nur noch nicht klar, ob du die ersten Beispiele durchgerechnet hast und guten Mutes sehr viel Vertrauen finden durftest,
oder ob du auch schon die Allgemein-Gültigkeit bewiesen hast...

Fluktuation23 aktiv_icon

18:25 Uhr, 23.02.2021

Ich verstehe. Wenn also

\sum_{n \geq 2} x^{n} = \frac{x^{2}}{1 - x}

ist, dann ist

\frac{2 - 3 x + \frac{x^{2}}{1 - x}}{1 - 2 x + x^{2}} = \frac{4 x^{2} - 5 x + 2}{(1 - x) (1 - 2 x + x^{2})}

Von hier an müsste man nur noch eine Partialbruchzerlegung machen und kann dannaus der Tabelle lesen, wie die nicht-rekursive Funktion lauten würde. Das mit dem Ansatz

f (n) = a n^{2} + b n + c

muss ich mir noch mal anschauen, es scheint die Sache zu vereinfachen. Vielen Dank

Fluktuation23 aktiv_icon

18:26 Uhr, 23.02.2021

Ich verstehe. Wenn also

\sum_{n \geq 2} x^{n} = \frac{x^{2}}{1 - x}

ist, dann ist

\frac{2 - 3 x + \frac{x^{2}}{1 - x}}{1 - 2 x + x^{2}} = \frac{4 x^{2} - 5 x + 2}{(1 - x) (1 - 2 x + x^{2})}

Von hier an müsste man nur noch eine Partialbruchzerlegung machen und kann dannaus der Tabelle lesen, wie die nicht-rekursive Funktion lauten würde. Das mit dem Ansatz

f (n) = a n^{2} + b n + c

muss ich mir noch mal anschauen, es scheint die Sache zu vereinfachen. Vielen Dank

HAL9000

20:55 Uhr, 23.02.2021

> Das mit dem Ansatz

f (n) = a n^{2} + b n + c

muss ich mir noch mal anschauen, es scheint die Sache zu vereinfachen.

Naja, dein Weg über die erzeugende Funktion ist einfach allgemeiner. Das mit dem quadratischen Ansatzt kann man unter "Glück gehabt" verbuchen, oder vielleicht aber auch unter "gutes Auge". Sähe die Rekursionsgleichung anders aus, wie z.B.

b_{n} = 4 b_{n - 1} - 4 b_{n - 2} + 1

,

dann wäre es nix mehr mit quadratischem Ansatz. Mit gutem Auge würde man dann wohl direkt mit Ansatz

b_{n} = (a n + b) 2^{n} + c

arbeiten. Aber man will ja nicht als Zauberer auftreten, sondern den Fragesteller auch möglichst logisch zur Lösung leiten. ;-)

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