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Rekursiv definierte Folge in R²

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen, Reihen, rekursiv definierte Folge

scbyy

13:24 Uhr, 15.12.2012

Hallo!

Ich weiß bei folgender Aufgabe nicht weiter, ich habe bereits "rechnerisch" die Grenzwerte bestimmt, indem ich mir die 2 Folgen einzeln angesehen habe.

Aufgabe:
Untersuchen Sie die nachfolgende rekursiv definierte Folge

{((x_{n}, y_{n}))}_{n \in ℕ} \in ℝ^{2}

für beliebige Startwerte

x_{1}, y_{1} \geq 0

auf Konvergenz.

x_{n + 1} := \frac{x_{n} + y_{n}}{2}

y_{n + 1} := \sqrt{x_{n} y_{n}}

- - - - - - - -

Wie schon geschrieben habe ich mir die zwei Folgen einzeln angesehen.
Bei der ersten habe ich

y_{n}

als beliebig aber festen Wert

\geq 0

angenommen,

x_{n}

dann ausgerechnet und mit den herausbekommenen Wert dann nochmal gerechnet.
Herausbekommen habe ich dann das die Folge

x_{n + 1} := \frac{x_{n} + y_{n}}{2}

gegen 1 konvergiert.

Die zweite Folge analog, herausbekommen habe ich als Grenzwert 2.

Ich denke ja nicht das man das so machen sollte, aber wir hatten noch nie so ein Beispiel, ich habe keine Ahnung wie ich da anfangen soll, bitte helft mir weiter.

LG scbyy

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DerDepp aktiv_icon

17:33 Uhr, 15.12.2012

Hossa ;-)

Aus zwei nicht-negativen reellen Zahlen

a, b \in ℜ^{\geq 0}

lässt sich die Wurzel ziehen und es gilt:

{(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} \geq 0 \Rightarrow a - 2 \sqrt{a b} + b \geq 0 \Rightarrow a + b \geq 2 \sqrt{a b} \Rightarrow \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b}

Wichtig: Das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn

a = b

ist!

Wenn du dies mit der Bildungsvorschrift deiner Folge vergleichst, stellst du fest:

x_{n + 1} = \frac{x_{n} + y_{n}}{2} \geq \sqrt{x_{n} y_{n}} = y_{n + 1}

Damit solltest du nun weiter kommen... ;-)

scbyy

20:07 Uhr, 15.12.2012

ok macht Sinn,
aber wie ich weiter machen soll weiß ich noch nicht,

x_{n}

und

y_{n}

gleichzeitig verwirren mich.

lg

DerDepp aktiv_icon

21:04 Uhr, 15.12.2012

1. Fall

x_{1} \neq y_{1}

(Es gilt das Größer-Zeichen aus der obigen Ungleichung!)

Über die beiden Startwerte

x_{1}

und

y_{1}

wissen wir nur, dass sie nicht-negativ und ungleich sind, es kann also insbesondere

x_{1} < y_{1}

sein. Nach erstmaliger Anwendung der Bildungsvorschrift wissen wir jedoch sicher:

x_{n + 1} = \frac{x_{n} + y_{n}}{2} > \sqrt{x_{n} y_{n}} = y_{n + 1} \Rightarrow x_{n + 1} > y_{n + 1}

Zusammengefasst also:

x_{n} > y_{n};

für

n \geq 2

x_{n + 1} = \frac{x_{n} + y_{n}}{2} < \frac{x_{n} + x_{n}}{2} = x_{n} \Rightarrow x_{n + 1} < x_{n}

y_{n + 1} = \sqrt{x_{n} y_{n}} > \sqrt{y_{n}^{2}} = y_{n} \Rightarrow y_{n + 1} > y_{n}

Die Teilfolge

x_{n}

ist also streng monoton fallend. Die Teilfolge

y_{n}

ist streng monoton wachsend. Da zustäzlich

x_{n} > y_{n}

gilt, beschränkt die fallende Teilfolge

x_{n}

die wachsende Teilfolge

y_{n}

nach oben und umgekehrt. Daher konvergieren beide Teilfolgen. Jetzt, wo wir wissen, dass beide Teilfolgen konvergieren, können wir die Grenzwerte

x

für die Folge

x_{n}

und

y

für die Folge

y_{n}

bestimmen:

lim_{n \to \infty} x_{n + 1} = lim_{n \to \infty} (\frac{x_{n} + y_{n}}{2}) \Rightarrow x = \frac{x + y}{2}

lim_{n \to \infty} y_{n + 1} = lim_{n \to \infty} (\sqrt{x_{n} y_{n}}) \Rightarrow y = \sqrt{x y}

Dieses Mini-Gleichungssystem wird gelöst durch

x = y = 2

. Falls also

x_{1} \neq y_{1}

ist, lautet der Grenzwert

(2, 2)

.

2. Fall

x_{1} = y_{1}

(Es gilt das Gleich-Zeichen in der obigen Ungleichung!)

x_{n + 1} = \frac{x_{n} + y_{n}}{2} = \sqrt{x_{n} y_{n}} = y_{n + 1} \Rightarrow x_{n + 1} = y_{n + 1}

Da auch

x_{1} = y_{1}

ist, gilt:

x_{n} = y_{n}

für alle

n

. Insbesondere ist

x_{n} = y_{n} = x_{1} = y_{1}

. Die Folge konvergiert also gegen

(x_{1}, y_{1})

.

Ok?

scbyy

09:30 Uhr, 16.12.2012

Danke für deine Hilfe!!
Die restlichen Beispiele waren jetzt kein großes Problem mehr!

LG scbyy

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